已知圆C：x 2 +y 2 +2x﹣4y+3=0．

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 14:06:10

已知圆C：x² +y² +2x﹣4y+3=0．
（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x₁ ，y₁ ）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，
∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，
又∵圆C：（x+1）² +（y﹣2）² =2，
∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径

，即

，
解得：a=﹣1或a=3，
当截距为零时，设y=kx，同理可得

或

，
则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或

或

．
（2）∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PM|² =|PC|² ﹣|CM|² ．
∴（x₁ +1）² +（y₁ ﹣2）² ﹣2=x₁ ² +y₁ ² ．
∴2x₁ ﹣4y₁ +3=0．
∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．
∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．
而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离

，
∴由

，
可得

P的坐标为

．

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