神马作文网已知两曲线C1:xy=1,C2:xy=3/4,直线l:y=kx+b(k不等于0)与C1只有一个公共点,且被C2截得的弦长
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 03:12:54
已知两曲线C1:xy=1,C2:xy=3/4,直线l:y=kx+b(k不等于0)与C1只有一个公共点,且被C2截得的弦长最短,求l的方程.
将y=kx+b代入xy=1
x(kx+b)=1
kx^2+bx-1=0
因为 y=kx+b(k不等于0)与C1只有一个公共点
1.k=0 x=1/b
直线l为 y=b
与C2:xy=3/4只可能有一个交点,不满足条件
2.k不等于0
kx^2+bx-1=0有两个相同的根
b^2+4k=0(根的判别式)
k=-b^2/4
代入直线方程y=kx+b得y=(-b^2/4)x+b
将y=(-b^2/4)x+b代入C2:xy=3/4得
x((-b^2/4)x+b)=3/4
(-b^2/4)x^2+bx-3/4=0
设两个交点为（x1,y1）（x2,y2）
截得的弦长为√（x1-x2）^2+(y1-y2)^2=
√ (1+b^4/16)(x1-x2)^2
x1+x2=4/b x1x2=3/b^2（韦达定理）
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=16/b^2-12/b^2=4/b^2
截得的弦长为√ (1+b^4/16)(4/b^2)=√((16+b^4)/16))(4/b^2)=√4(16+b^4)/16b^2（分子分母同时除以4b^2）=√(16/b^2+b^2)/4
要使√(16/b^2+b^2)/4最小
即要使(16/b^2+b^2)/4最小
16/b^2+b^2>=8
b^4=16
b=2或－2
k=-1
y=-x+2或y=-x-2
x(kx+b)=1
kx^2+bx-1=0
因为 y=kx+b(k不等于0)与C1只有一个公共点
1.k=0 x=1/b
直线l为 y=b
与C2:xy=3/4只可能有一个交点,不满足条件
2.k不等于0
kx^2+bx-1=0有两个相同的根
b^2+4k=0(根的判别式)
k=-b^2/4
代入直线方程y=kx+b得y=(-b^2/4)x+b
将y=(-b^2/4)x+b代入C2:xy=3/4得
x((-b^2/4)x+b)=3/4
(-b^2/4)x^2+bx-3/4=0
设两个交点为（x1,y1）（x2,y2）
截得的弦长为√（x1-x2）^2+(y1-y2)^2=
√ (1+b^4/16)(x1-x2)^2
x1+x2=4/b x1x2=3/b^2（韦达定理）
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=16/b^2-12/b^2=4/b^2
截得的弦长为√ (1+b^4/16)(4/b^2)=√((16+b^4)/16))(4/b^2)=√4(16+b^4)/16b^2（分子分母同时除以4b^2）=√(16/b^2+b^2)/4
要使√(16/b^2+b^2)/4最小
即要使(16/b^2+b^2)/4最小
16/b^2+b^2>=8
b^4=16
b=2或－2
k=-1
y=-x+2或y=-x-2
已知两曲线C1:xy=1,C2:xy=3/4,直线l:y=kx+b(k不等于0)与C1只有一个公共点,且被C2截得的弦长
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