神马作文网已知函数f(x)＝a+lnxx(a∈R)．
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 15:17:43
已知函数f(x)＝
(a∈R)
| a+lnx |
| x |
（Ⅰ）∵a=4，
∴f(x)＝
lnx+4
x且f(e)＝
5
e．（1分）
又∵f′(x)＝
(lnx+4)′x−(lnx+4)x′
x2＝
−3−lnx
x2，
∴f′(e)＝
−3−lne
e2＝−
4
e2．（3分）
∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y−
5
e＝−
4
e2(x−e)，
即4x+e2y-9e=0．（4分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝
1−(lnx+a)
x2，（5分）
令f'（x）=0得x=e1-a．
当x∈（0，e1-a）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（e1-a，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；（7分）
∴f（x）在x=e1-a处取得极大值，即f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1．（8分）
（Ⅲ）（i）当e1-a＜e2，即a＞-1时，
由（Ⅱ）知f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，e2]上是减函数，
∴当x=e1-a时，f（x）取得最大值，即f（x）max=ea-1．
又当x=e-a时，f（x）=0，当x∈（0，e-a]时，f（x）＜0，
当x∈（e-a，e2]时，f（x）∈（0，ea-1]，
所以，f（x）的图象与g（x）=1的图象在（0，e2]上有公共点，
等价于ea-1≥1，解得a≥1，
又因为a＞-1，所以a≥1．（11分）
（ii）当e1-a≥e2，即a≤-1时，f（x）在（0，e2]上是增函数，
∴f（x）在（0，e2]上的最大值为f(e2)＝
2+a
e2，
∴原问题等价于
2+a
e2≥1，解得a≥e2-2，
又∵a≤-1∴无解
综上，a的取值范围是a≥1．（14分）
∴f(x)＝
lnx+4
x且f(e)＝
5
e．（1分）
又∵f′(x)＝
(lnx+4)′x−(lnx+4)x′
x2＝
−3−lnx
x2，
∴f′(e)＝
−3−lne
e2＝−
4
e2．（3分）
∴f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为：y−
5
e＝−
4
e2(x−e)，
即4x+e2y-9e=0．（4分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝
1−(lnx+a)
x2，（5分）
令f'（x）=0得x=e1-a．
当x∈（0，e1-a）时，f'（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（e1-a，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）是减函数；（7分）
∴f（x）在x=e1-a处取得极大值，即f（x）极大值=f（e1-a）=ea-1．（8分）
（Ⅲ）（i）当e1-a＜e2，即a＞-1时，
由（Ⅱ）知f（x）在（0，e1-a）上是增函数，在（e1-a，e2]上是减函数，
∴当x=e1-a时，f（x）取得最大值，即f（x）max=ea-1．
又当x=e-a时，f（x）=0，当x∈（0，e-a]时，f（x）＜0，
当x∈（e-a，e2]时，f（x）∈（0，ea-1]，
所以，f（x）的图象与g（x）=1的图象在（0，e2]上有公共点，
等价于ea-1≥1，解得a≥1，
又因为a＞-1，所以a≥1．（11分）
（ii）当e1-a≥e2，即a≤-1时，f（x）在（0，e2]上是增函数，
∴f（x）在（0，e2]上的最大值为f(e2)＝
2+a
e2，
∴原问题等价于
2+a
e2≥1，解得a≥e2-2，
又∵a≤-1∴无解
综上，a的取值范围是a≥1．（14分）