关于矩阵的迹第一问：我会做.第二问：会做.存在正交矩阵T,使A=TUT',其中（U是有A的特征值值u构成的矩阵,对角线上

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/18 18:04:16

关于矩阵的迹
第一问：我会做.
第二问：会做.存在正交矩阵T,使A=TUT',其中（U是有A的特征值值u构成的矩阵,对角线上元素>=0）,所以Tr（AB）=Tr（TUT'B）=Tr（UT'BT）.T'BT也为半正定,其对角线元素大于等于0,左乘U相当于每行都乘以个非负数,所以UT'BT对角线仍大于等于0,所以Tr（AB）>=0.
但是第三问不会做,请高手指教.（是不是在第二问的时候能求出 AB 相似于某个半正定矩阵呢?要是的话,二、三问就一起解决了）

只需把你得到的式子Tr（AB）=Tr（TUT'B）=Tr（UT'BT）往下再写一步：令D^2=U,其中D是对角阵,对角元是U的对角元的正的平方根.因此Tr(AB)=Tr(DT'BTD),第二个括号里是半正定阵,迹为0的话只能是零矩阵.注意到DT'BTD=0和D^2T'BT=0等价,因此得到结论.
再问：不是吧？U是半正定的，不是正定的，里面可能有0，所以DT'BTD并不能直接说就是半正定的。
再答：是半正定的。可以简单证明：对任意的非零x，有x'DT'BTDx=(TDx)'B(TDx)=y'By>=0，其中y＝TDx，于是半正定。
再问：既然D不一定是可逆矩阵，如何说明DT'BTD=0和D^2T'BT=0等价？D^2T'BT=0有如何推出AB=0呢？请指示一二。。
再答：第一个等价就是计算，D＝diag(d1 d2 ... dn)，T'BT=(bij)，然后你把第一个表达式乘开，第二个表达式乘开看看就知道是等价了。0=D^2T'BT=UT'BT=T'(TUT'B)T＝T'(AB)T，T是正交阵，故AB=0

关于矩阵的迹第一问：我会做.第二问：会做.存在正交矩阵T,使A=TUT',其中（U是有A的特征值值u构成的矩阵,对角线上已知矩阵A,求酋矩阵U使 U的逆AU 为对角矩阵证明A为正定矩阵的充要条件是存在可逆矩阵U,使A=U'U 一个n阶矩阵对角化得到的对角矩阵的对角线上元素就是原矩阵的特征值,请问如果做正交对角变换得到的对角矩阵仍符合上面吗,及对实对称矩阵对角化问题设A为3介实对称矩阵,可知存在正交阵P,使得P'-1AP=B,B为其特征值构成的对角矩阵,为什么求出线性代数A是实正交矩阵,-1是A的特征值,证明A是第二类正交矩阵老师您好,已知0是矩阵A=[1,0,1；0,2,0；1,0,a]的特征值,求：a的值和正交矩阵P使P^-1AP为对角矩阵设矩阵A=[422;242;224],1、求矩阵A的所有特征值与特征向量；2、求正交矩阵P,使得P-1AP为对角矩阵. n阶矩阵A和对角矩阵相似的充分条件是:A有n个不同的特征值和A是实对称矩阵.我想问:一般题目是证明n阶矩阵A和B相似,这设矩阵A=[1 -1 1;-1 1 -1;1 -1 1],求正交矩阵T使T^-1AT=T`AT为对角矩阵.急用,会的请帮 AB均为实对称矩阵,且AB=BA,如果A有n个互异的特征值,证明,存在正交矩阵P使P'AP与P'BP均为对角阵矩阵A 有n个特征值,能不能直接说它的相似矩阵就是这n个特征值的对角阵化,所构成的矩阵