关于质数、完全平方数的奥数题

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/23 20:59:47

关于质数、完全平方数的奥数题
M是一个四位自然数,且M小于2006,N是一个自然数.M-N是一个质数,MN是一个完全平方数.求所有满足条件的M

1、因为N-N是一个质数,所以M和N的公约数要么是1,要么是M-N(理由:两数的公约数,必定也是这两数之差的约数.而M-N又是质数,质数的约数只有1和本身);
2、将M和N表示成以下形式:M=a^2*x,N=b^2*y
(任何自然数都可以这么表示,比如7=1^2*7,24=2^2*6,其中x,y中不含除1外的其他完全平方数因子)
因为MN是一个完全平方数,所以上式中xy必定为完全平方数.又因为x,y中不含除1外的其他完全平方数因子,所以必定x=y,所以x是M和N的公约数.根据第1条的分析,x要么等于1,要么等于M-N.
3、假如x=M-N,则有x=M-N=a^2*x-b^2*x=(a^2-b^2)*x,即a^2-b^2=1,矛盾（因为b不能等于0）；
4、所以x=1.由此得,M和N都是完全平方数；
5、已知M,N是完全平方数,又是一个四位自然数且小于2006,不很容易求出M吗?
因为a^2-b^2=(a+b)(a-b),要使M-N是质数,必须使a+b是质数且a-b=1;
所以M可能的值为：
M=34^2=1156;
M=36^2=1296;
M=37^2=1369;
M=40^2=1600;
M=42^2=1764;

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