已知二次函数f(x)=x²-2ax+1(1≤x≤2)

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 00:08:50

已知二次函数f(x)=x²-2ax+1(1≤x≤2)
(1)若a≥2时,求函数的值域
（2）若a ≤1时,求函数的值域
（3）若1＜a＜2时,求函数的值域

我们首先对函数表达式进行变形得到：f(x)=x²-2ax+1=(x-a)^2+1-a^2,其中x=a时期对称轴,又因为此函数开口向上,对称轴左边为其减区间,右边为其增区间.但是自变量的取值本题有限制1≤x≤2.所以我们分情况讨论下面三题；
(1)若a≥2时,对称轴在定义域的右侧,说明该函数在其定义域内为减函数,所以最大值为f(1)=1-2*1*a+1=2-2a；最小值为f(2)=4-2*2*a+1=5-4a,可以利用不等式性质进行估值；
（2）若a ≤1时,对称轴在定义域的左边,说明该函数在其定义域内为增函数,所以最大值为f(2)=4-2*2*a+1=5-4a,最小值为f(1)=1-2*1*a+1=2-2a；同样可以利用不等式性质进行估值；
（3）若1＜a＜2时,说明对称轴在定义域内,则可知当x=a时有最小值,f(a)=1-a^2；需要讨论对称轴距离短点x=2和x=1哪个远,远者为最大值.（这里可以讨论,当1＜a＜1.5,1.5＜a＜2,a=1.5时的情况）

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