神马作文网怎么证明调和级数是发散的
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 07:40:32
怎么证明调和级数是发散的
我们老师用的是
S2n-Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.1/(n+n)>1/(n+n)+1/(n+n)+.1/(n+n)=1/2
显然不等于0,推出调和级数是发散的.
请问大家,这里是怎么推出的,没听明白,请认真解答.
我们老师用的是
S2n-Sn=1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+.1/(n+n)>1/(n+n)+1/(n+n)+.1/(n+n)=1/2
显然不等于0,推出调和级数是发散的.
请问大家,这里是怎么推出的,没听明白,请认真解答.
方法一,直接从这个结果出发：
S2n-Sn>=1/2
对于任意n成立
则把n变成2n
S4n-S2n>=1/2成立
以次类推S8n-S4n>=1/2
S 下标2^k n -S下标2^(k-1)n >=1/2
把这些统统相加
S 下标2^k n >=k/2
再令k->无穷,即2^k n->无穷,则S无穷=无穷
方法二,利用极限收敛定义：
若一个数列极限存在,则其必为柯西数列
柯西数列An表示对于任意m>n
有|Am-An|->0,当m,n->无穷
此处显然永远有m=2n时,|Sm-Sn|>=1/2与Cauchy数列定义矛盾,所以发散
再问： S 下标2^k n >=k/2 这里应该是 S 下标2^k n-Sn >=k/2 Sn是一个常数，不影响结果。
再答： 对啊，Sn是个正数，再加上一个Sn>=1/2就对了吧 或者，k/2趋向无穷，正数+正无穷=正无穷 正规做法用方法二
S2n-Sn>=1/2
对于任意n成立
则把n变成2n
S4n-S2n>=1/2成立
以次类推S8n-S4n>=1/2
S 下标2^k n -S下标2^(k-1)n >=1/2
把这些统统相加
S 下标2^k n >=k/2
再令k->无穷,即2^k n->无穷,则S无穷=无穷
方法二,利用极限收敛定义：
若一个数列极限存在,则其必为柯西数列
柯西数列An表示对于任意m>n
有|Am-An|->0,当m,n->无穷
此处显然永远有m=2n时,|Sm-Sn|>=1/2与Cauchy数列定义矛盾,所以发散
再问： S 下标2^k n >=k/2 这里应该是 S 下标2^k n-Sn >=k/2 Sn是一个常数，不影响结果。
再答： 对啊，Sn是个正数，再加上一个Sn>=1/2就对了吧 或者，k/2趋向无穷，正数+正无穷=正无穷 正规做法用方法二