神马作文网高数中幂级数求和函数,这道题我求导后发现没有公式可以用来替换掉幂级数,该怎么办?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/19 18:09:51
高数中幂级数求和函数,这道题我求导后发现没有公式可以用来替换掉幂级数,该怎么办?
令s(x)=Σ(-1)^n x^2n/2n
s'(x)=Σ(-1)^nx^(2n-1)
=-x/(1+x²)
∫(0,x)s'(x)dx
=s(x)-s(0)
=∫(0,x)-x/(1+x²)dx
=-1/2∫(0,x)1/(1+x²)d(1+x²)
=-1/2ln(1+x²)
即
s(x)=-1/2ln(1+x²)
再问： 你的第三行 那个等号后边怎么得到得？
再答： Σ(-1)^nx^(2n-1) =-x+x³-x^5+x^7-... 这个是公比为x²，首项为-x的等比级数 所以 它的和=-x/(1+x²)
再问： 公比是-x²。等比数列求和公式： Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 吗？我看不大懂，感觉你的求和公式写的是这个样子Sn=a1/(1-q） = =是不是说在区间x的绝对值小于1上，a1·q^n这一项在n趋于无穷时极限为0 因此才有你的那个结果。。？
再答： 是的，因为 q^n极限为0 （|q|
s'(x)=Σ(-1)^nx^(2n-1)
=-x/(1+x²)
∫(0,x)s'(x)dx
=s(x)-s(0)
=∫(0,x)-x/(1+x²)dx
=-1/2∫(0,x)1/(1+x²)d(1+x²)
=-1/2ln(1+x²)
即
s(x)=-1/2ln(1+x²)
再问： 你的第三行 那个等号后边怎么得到得？
再答： Σ(-1)^nx^(2n-1) =-x+x³-x^5+x^7-... 这个是公比为x²，首项为-x的等比级数 所以 它的和=-x/(1+x²)
再问： 公比是-x²。等比数列求和公式： Sn=a1(1-q^n)/(1-q) 吗？我看不大懂，感觉你的求和公式写的是这个样子Sn=a1/(1-q） = =是不是说在区间x的绝对值小于1上，a1·q^n这一项在n趋于无穷时极限为0 因此才有你的那个结果。。？
再答： 是的，因为 q^n极限为0 （|q|