已知双曲线y^2-x^2/2=1过点P（0,√3）的直线L交双曲线于AB两点,且线段AB的长度为双曲线实轴长的4倍,求直

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/12 11:13:44

已知双曲线y^2-x^2/2=1过点P（0,√3）的直线L交双曲线于AB两点,且线段AB的长度为双曲线实轴长的4倍,求直线L的方程

y²-x²/2=1
双曲线实轴长是2
设直线L的斜率为k
那么直线L是y-√3=k(x-0)
把y=kx+√3代入y²-x²/2=1得
(kx+√3)²-x²/2=1
即(k²-1/2)x²+2√3kx+2=0
所以x1+x2=-2√3k/(k²-1/2),x1x2=2/(k²-1/2)
故|AB|=√(1+k²)*|x2-x1|
=√(1+k²)*√[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(1+k²)*√[(-2√3k/(k²-1/2))²-4*2/(k²-1/2)]
=√(1+k²)*√[4(k²+1)/(k²-1/2)²]
=2(k²+1)/|k²-1/2|
=4*2
所以(k²+1)/|k²-1/2|=4
即k²+1=4|k²-1/2|
所以k²=1或k²=1/5
k=-1或k=1或k=-√5/5或k=√5/5
所以直线L的方程是y=-x+√3或y=x+√3或y=(-√5/5)x+√3或y=(√5/5)x+√3

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