∫[-∞,+∞]e^(-t^2)dt等于多少,求详细解答
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 17:23:28
∫[-∞,+∞]e^(-t^2)dt等于多少,求详细解答
给你一个不是很严密的做法,严格做法在同济大学高等数学教材中有(下册二重积分极坐标部分)
设u=∫[-∞,+∞] e^(-t^2)dt
两边平方:下面省略积分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
用极坐标
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限
=π
这样u^2=π,因此u=√π
本题不严密处在于,化为二重积分时,其实不应该是一个圆形区域,而应该是矩形区域,书上有这个处理方法,利用夹逼准则将圆形区域夹在两个矩形区域之间来解决这个问题.
设u=∫[-∞,+∞] e^(-t^2)dt
两边平方:下面省略积分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
用极坐标
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限
=π
这样u^2=π,因此u=√π
本题不严密处在于,化为二重积分时,其实不应该是一个圆形区域,而应该是矩形区域,书上有这个处理方法,利用夹逼准则将圆形区域夹在两个矩形区域之间来解决这个问题.
∫[-∞,+∞]e^(-t^2)dt等于多少,求详细解答
求不定积分:∫(e^(t^2))dt 和 ∫(e^(-t^2))dt
∫(e^(t^2))dt
设f(x)=∫(1,x^2) e^(-t)/t dt,求∫(0,1)xf(x)dt
求函数f(x)=∫[0,x^2](2-t)*e^(-t)dt的极值和最值,x∈(-∞,+∞)
当X趋向于0求极限 [∫(0到x) e^(t^2)*dt]^2 / ∫(0到x)t*e^(2*t^2)*dt
设f(t)=∫e^(-x^2)dx,求∫tf(t)dt=?
数学φ(x)=∫(0~2x)t(e^t)dt…求φ'(x)
Z=e(x-2y) X=sint Y等于T的平方 求dz/dt
f(x)=∫tan^2(e^(2t+1))dt+A,求f^(-1)(A)
‘下标-1,上标1'∫(1-T^2)^0.5dt等于多少?
‘下标-1,上标1'∫(1-T^2)^0.5dt等于多少