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求函数 ln（x+1）/（x4+x2+1） 从0到100（积分上下限）上定积分的值,高手帮下忙,

来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 01:51:32
求函数 ln（x+1）/（x4+x2+1） 从0到100（积分上下限）上定积分的值,高手帮下忙,
不要只语言叙述,最好能贴张图~这题困扰我好几天了,.
ln（x+1）整个是分子，我写的不严谨不好意思。
求函数 ln（x+1）/（x4+x2+1） 从0到100（积分上下限）上定积分的值,高手帮下忙,
[0,100]∫ln[(x+1)/(x⁴+x²+1)]dx=[0,100][∫ln(x+1)dx-∫ln(x⁴+x²+1)dx].(1)
为简化书写过程我先把两个不定积分求出来：
∫ln(x+1)dx=∫ln(x+1)d(x+1)=(x+1)ln(x+1)-x.(2)
∫ln(x⁴+x²+1)dx=xln(x⁴+x²+1)-∫[x(4x³+2x)/(x⁴+x²+1)]dx
=xln(x⁴+x²+1)-∫[4-(2x²+4)/(x⁴+x²+1)]dx
=xln(x⁴+x²+1)-4x+2∫[(x²+2)/(x⁴+x²+1)]dx.(3)
其中∫[(x²+2)/(x⁴+x²+1)]dx=∫[(x²+1)/(x⁴+x²+1)]dx+∫[1/(x⁴+x²+1)]dx
=(1/√3)arctan[(x²-1)/(√3)x]+(1/4)ln[(x²+x+1)/(x²-x+1)]+(1/2√3)arctan[(x²-1)/(√3)x]
=(3/2√3)arctan[(x²-1)/(√3)x]+(1/4)ln[(x²+x+1)/(x²-x+1)],代入(3)式得：
∫ln(x⁴+x²+1)dx=xln(x⁴+x²+1)-4x+(3/√3)arctan[(x²-1)/(√3)x]+(1/2)ln[(x²+x+1)/(x²-x+1)].(4)
再将(2)和(4)代入(1)式即得：
[0,100]∫ln[(x+1)/(x⁴+x²+1)]dx
=[0,100]{(x+1)ln(x+1)-xln(x⁴+x²+1)+4x-(3/√3)arctan[(x²-1)/(√3)x]-(1/2)ln[(x²+x+1)/(x²-x+1)]}
=(101)ln(101)-100ln(100010001)+400-(3/√3)arctan(9999/100√3)
-(1/2)ln(100010001/99989999)-3π/(2√3)
你这题够烦人的!中间有两个积分把过程省去了,若写下来更不得了!
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