定积分计算,怎么破,关键表达式变形?

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/15 18:10:23

定积分计算,怎么破,关键表达式变形?

令x=tgt,故dx=dt/[Cost]^2
原式=Integral{1/[(1/Cost)^2]^2 * dt/(Cost)^2,-π/4,π/4}
=Integral{(Cost)^2*dt ,-π/4,π/4}
=2*Integral{[1+Cos(2*t)]/2*dt ,0,π/4}
=π/4+1/2*{[Sin(2*t) ,0,π/4}
=π/4+1/2
=(π+2)/4
再问： tegral是什么函数？
再答：此题有多种解法。既可像楼上那样解，也可以先求出不定积分后再代入计算。由有理分式的不定积分一章的知识。
我们知道1/(1+x^2)^2的不定积分为：
Integral{1/(1+x^2)^2*dx}=Integral{(1+x^2-x^2)/(1+x^2)^2*dx}
=Integral{dx/(1+x^2)}-Integral{x^2*dx/(1+x^2)^2}
=Arctgx-1/2*Integral{x*d(1+x^2)/(1+x^2)^2}=Arctgx+1/2*Integral{x*d[1/(1+x^2)/]}
=Arctgx+1/2*{x/(1+x^2)-Integral{dx/(1+x^2)}}=1/2*{Arctgx+x/(1+x^2)}
故Integral{1/(1+x^2)^2*dx ,-1,1}=2*Function{1/2*{Arctgx+x/(1+x^2)},0,1}=arctg1+1/(1+1^2)=π/4+1/2=1/4*(π+2)
by the way ,以后若有问题也可到小木虫（http://emuch.net/bbs/）上找我peterflyer。

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