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21 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面三角形的各边长都是a,D为BC中点,求证：
（1）平面AC1D ⊥ 平面BCC1B1
（2）A1B ‖ 平面ADC1.
证明：（1）
∵ 三棱柱ABC-A1B1C1 是直三棱柱
∴ 侧棱B1B ⊥ 底面ABC
而 AD ⊊ 底面ABC
∴ B1B ⊥ AD -------------------- ①
∵ △ABC 是等边三角形、D为BC中点
∴ AD ⊥ BC --------------------- ②
由①②知：
AD 垂直于 两相交直线B1B和BC 决定的平面BCC1B1
即：AD ⊥ 平面BCC1B1
而 平面AC1D 经过AD
∴ 平面AC1D ⊥ 平面BCC1B1
（2）
连CA1 ,设CA1 与 AC1相交于点O,
则点O为CA1的中点
而D为BC的中点
∴连OD,则OD为△A1BC的中位线
∴A1B ‖ OD
而 OD ⊊ 平面ADC1
∴A1B ‖ 平面ADC1.
5 棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为D1D和DB的中点.求证：
（1）EF ‖ 平面BC1D1
（2）EF ⊥ B1C
（3）求三棱锥VB1-EFC 的体积.
(1)证明：
∵ E、F分别为D1D和DB的中点
∴ EF为△DD1B的中位线
∴ EF ‖ D1B
而 D1B ⊊ 平面BC1D1
∴ EF ‖ 平面BC1D1
(2)证明：
∵ 正方体ABCD-A1B1C1D1中,D1C1 ⊥ 平面B1BCC1(图中右面)
而 B1C ⊊ 平面B1BCC1
∴ D1C1 ⊥ B1C --------------------- ③
在正方形B1BCC1(图中右面)中,
BC1 ⊥ B1C --------------------- ④
由③④知：
B1C 垂直于 两相交直线D1C1和BC1 决定的平面BC1D1
∴ B1C ⊥ 平面BC1D1
而由(1)已证得
EF ‖ 平面BC1D1
∴ EF ⊥ B1C
(3)
∵ 正方体ABCD-A1B1C1D1中,D1D ⊥ 平面ABCD(图中下底面)
而 FC ⊊ 平面ABCD
∴ D1D ⊥ FC --------------------- ⑤
在正方形ABCD(图中下底面)中,
DB ⊥ FC --------------------- ⑥
由⑤⑥知：
FC 垂直于 两相交直线D1D和DB 决定的平面D1DB
即： FC ⊥ 平面D1DB
而 EF ⊊ 平面D1DB
∴ FC ⊥ EF ----------------------- ⑦
由(2)问已证得
B1C ⊥ EF ----------------------- ⑧
由⑦⑧知：
EF 垂直于 两相交直线FC和B1C 决定的平面B1FC
即： EF ⊥ 平面B1FC
∴ 把平面B1FC 当做待求三棱锥的底面、把EF当做待求三棱锥的高.
下面分别求底面积 和 高.
易求得 EF = √2
在△B1FC中
易求得 B1F = √6,FC = √2,B1C = 2√2
显然：(B1F)² + (FC)² = (B1C)²
∴ △B1FC 为Rt△
∴ △B1FC 的面积为 (1/2)×(BF1)×(FC) = √3
∴ 三棱锥VB1-EFC 的体积为：
(1/3)×(EF)×(△B1FC 的面积)
= (1/3)×(√2)×(√3)
= (√6)/3