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如图,已知圆内接三角形ABC中,AB大于AC,D为弧BAC的中点,DE垂直于AB于E,求证:BD^2 - AD^2=AB

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/12 19:50:01
如图,已知圆内接三角形ABC中,AB大于AC,D为弧BAC的中点,DE垂直于AB于E,求证:BD^2 - AD^2=AB x AC
如图,已知圆内接三角形ABC中,AB大于AC,D为弧BAC的中点,DE垂直于AB于E,求证:BD^2 - AD^2=AB
证明:连接CD,在BE上取一点M,使EM=EA
因为DE⊥AB
故:DM=DA,∠DMA=∠DAM
BD²=BE²+DE²;AD²=DE²+AE²
故:BD² - AD²= BE²- AE²=(BE+AE)(BE-AE)=AB•BM
又:D为弧BAC的中点
即:弧BD=弧CD
故:BD=CD
又:∠BDM=∠DMA-∠DBA=∠DAM-∠DBA=1/2×(弧BD-弧AD)
∠CDA=1/2×弧AC=1/2×(弧CD-弧AD)=1/2×(弧BD-弧AD)
故:∠BDM=∠CDA
故:△BDM≌△CDA(SAS)
故:BM=AC
故:BD² - AD²= AB•BM=AB•AC