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若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球表面积之比为______.

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/09/30 02:17:26
若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球表面积之比为______.
若一个正三棱柱存在外接球与内切球,则它的外接球与内切球表面积之比为______.
设正三棱柱底面正三角形的边长为a,
当球外切于正三棱柱时,球的半径R1等于正三棱柱的底面正三角形的边心距

3
6a,R12=
1
12a2,
故正三棱柱的高为
2
3
3a,
当正三棱柱外接球时,球的圆心是正三棱柱高的中点,且球的球心与正三棱柱两个底面正三角形构成两个正三棱锥,R22=(

3
3a)2+(

3
3a)2=
2
3a2,
∴内切球与外接球表面积之比为
1
12a2:
2
3a2=1:8.
故答案为:8:1