如果自然数m,n满足(m+1)^3-m^3=n^2,证明n能表示成2个整数的平方和.

如果自然数m,n满足(m+1)^3-m^3=n^2,证明n能表示成2个整数的平方和.
(m+1-m)[(m+1)^2+m^2+m(m+1)]=(m+1+m)^2..
黑了再说，然后呢？

是竞赛题吗?
这题证明挺麻烦的
(m+1)^3-m^3=3m^2+3m+1=n^2
变形
(2n)^2-3(2m+1)^2=1
令2n=a,2m+1=b,则a^2-3b^2=1
这是一个pell方程,明显最小解a=2,b=1,那么它的通解满足
an+√3bn=(2+√3)^n
也就是
an+√3bn=(2+√3)(a(n-1)+√3b(n-1))
=2a(n-1)+3b(n-1)+(a(n-1)+2b(n-1))*√3
即
an=2a(n-1)+3b(n-1)
bn=a(n-1)+2b(n-1)
a1=2,b1=1
当an为偶数,bn为奇数时,a(n+1)是奇数,b(n+1)是偶数
当an为奇数,bn为偶数时,a(n+1)是偶数,b(n+1)是奇数
所以an中奇数,偶数交替出现,所以满足题意的a在{a1,a3,a5...a(2k+1)}中出现
令a(2k+1)=Ak,b(2k+1)=Bk
那么A(k+1)+√3B(k+1)=(2+√3)^2(Ak+√3Bk)
即
A(k+1)=7Ak+12Bk
B(k+1)=7Bk+4Ak
化简
A(k+1)=14A(k)-A(k-1)
递推式特征根x1=7+4√3,x2=7-4√3
那么Ak=s*x1^(k-1)+t*x2^(k-1)
以a1=2,a2=26代入,解得s=(2+√3)/2,t=(2-√3)/2
所以Ak=((2+√3)^(2k-1)+(2-√3)^(2k-1))/2
n=Ak/2=((2+√3)^(2k-1)+(2-√3)^(2k-1))/4,来证明它是两个完全平方数的和
观察到
A1=2,n=1,n=0^2+1^2
A2=26,n=13,n=2^2+3^2
A3=362,n=181,n=9^2+10^2
猜想n能写成两个相邻整数的平方和,下面就来证明
令x^2+(x+1)^2=n=Ak/2=((2+√3)^(2k-1)+(2-√3)^(2k-1))/4
即2x^2+2x+((1-(2+√3)^(2k-1)+(2-√3)^(2k-1))/4)=0 .①
设其判别式Δ,则
Δ/2
=(2+√3)^(2k-1)+(2-√3)^(2k-1)-2
令X=(√6+√2)/2,Y=(√6-√2)/2
则
Δ/2
=((X^(2k-1)-Y(2k-1))^2 ...②
再来证明X^(2k-1)-Y^(2k-1)能写成(2K+1)*√2的形式
k=1时,X+Y=√2=1*√2
k=2时,X^3+Y^3=5*√2
令Tk=X^(2k-1)+Y^(2k-1)
则Tk满足递推式
Tk=4T(k-1)-T(k-2)
若T(k-1),T(k-2)能写成(2K+1)√2形式,明显Tk也能写成(2K+1)√2形式
由归纳原理得证
由②,Δ=(2K+1)^2*4
由①,x有一个根是
(2(2K+1)-2)/4=K是整数
所以存在整数x,使得x^2+(x+1)^2=Ak/2=n对任意k均成立
所以对原方程,n总能写成两个相邻整数的平方和,当然能写成两个整数的平方和,得证