（2012•河南）如图,在平面直角坐标系中,直线y= 12x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 08:25:12

（2012•河南）如图,在平面直角坐标系中,直线y= 12x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两
（2012•河南）如图,在平面直角坐标系中,直线y=
12x+1与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B点重合）,过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D．
（1）求a、b及sin∠ACP的值；
（2）设点P的横坐标为m．
①用含有m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值；
②连接PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,直接写出m的值,使这两个三角形的面积之比为9：10?若存在,直接写出m的值；若不存在,说明理由．

⑴令Y=1/2X+1=0得,X=-2,∴A(-2,0),当Y=3时,Y=1/2X+1=3得X=4,∴B(4,3),
Y=aX^2+bX-3过A、B得方程组：
0=4a-2b-3,
3=16a+4b-3
解得：a=1/2,b=-1/2,
设AB与Y轴交于M,令X=0,Y=1,∴M(0,1),AM=√(OA^2+OM^2)=√5,
∵PC∥Y轴,∴sin∠ACP=sin∠AMO=OA/AM=2/√5=2√5/5.
⑵P(m,1/2m^2-1/2m-3),C(m,1/2m+1),
PC=1/2m+1-(1/2m^2-1/2m-3)=-1/2m^2+m+4,
PD=PC*sin∠ACP=2√5/5*(-1/2m^2+m+4)
=-√5/5(m^2-2m-8),
=-√5/5［(m-1)^2-9]=-√5/5(m-1)^2+9√5/5,
∴当m=1时,PD最大=9√5/5.
②