神马作文网请问那个选项是对的,为什么?
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 04:46:28
请问那个选项是对的,为什么?
这题主要是矩阵的几种等价关系.
(A)是相抵,即可通过行列初等变换相互转化,两个同型矩阵相抵等价于秩相等.
这里A,B都是n阶方阵,可逆故秩均为n,结论成立.
(B)是相似,相似变换为A→P^(-1)AP,P为可逆矩阵.
等价条件要用Jordan标准型理论,必要条件有很多,比如特征值,特征多项式都要相等.
这里由A,B为对称阵,(AB)' = BA,即AB和BA互为转置.
转置矩阵总是相似的(我不记得怎样不用Jordan标准型证了),结论成立.
(C)是实对称阵的合同,合同变换为A→P'AP,P为可逆实矩阵.
充要条件是秩相等且惯性指数相等.特别的,两个n阶正定阵是合同的.
A是实对称阵,故A²半正定,又A可逆,故A²正定.同理B²正定.二者合同,结论成立.
(D)是正交相似,一般来说比相似的限制还强.但是A,B甚至未必是相似的,结论不成立.
多说一点,实对称阵都正交相似于实对角阵,可知它们相似等价于正交相似.
综上,(D)是唯一不正确的命题.
再问： A,B秩为什么相等啊？
再答： 因为条件说n阶可逆, 可逆方阵即满秩方阵, 所以秩是n.
(A)是相抵,即可通过行列初等变换相互转化,两个同型矩阵相抵等价于秩相等.
这里A,B都是n阶方阵,可逆故秩均为n,结论成立.
(B)是相似,相似变换为A→P^(-1)AP,P为可逆矩阵.
等价条件要用Jordan标准型理论,必要条件有很多,比如特征值,特征多项式都要相等.
这里由A,B为对称阵,(AB)' = BA,即AB和BA互为转置.
转置矩阵总是相似的(我不记得怎样不用Jordan标准型证了),结论成立.
(C)是实对称阵的合同,合同变换为A→P'AP,P为可逆实矩阵.
充要条件是秩相等且惯性指数相等.特别的,两个n阶正定阵是合同的.
A是实对称阵,故A²半正定,又A可逆,故A²正定.同理B²正定.二者合同,结论成立.
(D)是正交相似,一般来说比相似的限制还强.但是A,B甚至未必是相似的,结论不成立.
多说一点,实对称阵都正交相似于实对角阵,可知它们相似等价于正交相似.
综上,(D)是唯一不正确的命题.
再问： A,B秩为什么相等啊？
再答： 因为条件说n阶可逆, 可逆方阵即满秩方阵, 所以秩是n.