证明：斐波那契数列中最大的立方数是8

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 22:16:20

证明：斐波那契数列中最大的立方数是8
斐波那契数列：由0、1开始,之后的每个数都等于前面两个数的和,即0、1、1、2、3、5、8、13.请证明：斐波那契数列中8是最大的立方数,也就是说8以后,斐波那契数列中不再有立方数.

a(n+2)=an+a(n+1),a1=0,a2=1.
a(n+2)=m^3,m为大于2的正整数.
它的通项公式为:an=
1/5^(1/2)*[[1+5^(1/2)/ 2]^n-[1-5^(1/2)/ 2]^n]
由二项式展开定理:
(a+b)^n=C(n,r)a^(n-r)b^r (r从0到n,求和)
记求和符号P(r,0,n)
[1+5^(1/2)/ 2]^n=
2^(-n)*P(r,0,n)C(n,r)*(5^(1/2)/ 2)^r
[1-5^(1/2)/ 2]^n=
2^(-n)*P(r,0,n)C(n,r)*(-5^(1/2)/ 2)^r
所以
[1+5^(1/2)/ 2]^n-[1-5^(1/2)/ 2]^n=
2^(-n)*[P(r,0,n)C(n,r)*(5^(1/2)/ 2)^r
-P(r,0,n)C(n,r)*(-5^(1/2)/ 2)^r]
(1)当n为奇数时,an=1/5^(1/2)*2^(1-n)*
[P(r,0,n-1)C(n,r)*(5^(1/2))^r
=2^(1-n)*[P(r,0,n-1)C(n,r)*5^((r-1)/2)]
其中r取1,3,5,7,...,n
(2)当n为偶数时,an=1/5^(1/2)*2^(1-n)*
[P(r,0,n-1)C(n,r)*(5^(1/2))^r]
=2^(1-n)*[P(r,0,n-1)C(n,r)*5^((r-1)/2)]
其中r取1,3,5,7,.,n-1.

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