神马作文网∫dx/x*(x^2-1)^1/2
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/13 14:01:41
∫dx/x*(x^2-1)^1/2
一,令x=sectdx=sinx/(cosx)^2 dt(x^2-1)=(sect)^2-1=(tanx)^2 根号(x^2-1)=tanxDx/(x*根号(x^2-1)) =dx/(sect*tant)=dx/(1/cost)*tanx=acecos(1/x)
二,设t=1/x 则dx=-dt/t^2∴∫1/[x(x^2-1)^(1/2)]dx=-∫(dt/t^2)*t|t|/(1-t^2)=-sgn(t)∫dt/(1-t^2)^(1/2)=-sgn(x)arcsint+C=-arcsin(1/|x|)+C
我觉得两种方法都是对的为什么答案不一样啊.就教.
一,令x=sectdx=sinx/(cosx)^2 dt(x^2-1)=(sect)^2-1=(tanx)^2 根号(x^2-1)=tanxDx/(x*根号(x^2-1)) =dx/(sect*tant)=dx/(1/cost)*tanx=acecos(1/x)
二,设t=1/x 则dx=-dt/t^2∴∫1/[x(x^2-1)^(1/2)]dx=-∫(dt/t^2)*t|t|/(1-t^2)=-sgn(t)∫dt/(1-t^2)^(1/2)=-sgn(x)arcsint+C=-arcsin(1/|x|)+C
我觉得两种方法都是对的为什么答案不一样啊.就教.
这两个答案是等价的
因为同一个角的反余弦和反正弦值之和为常数：arcsinA+arccosA=π/2
所以arccos(1/x)+arcsin(1/x)=π/2
arccos(1/x)=-arcsin(1/x)+π/2
它们相差一个常数,所以是等价的
不同的方法求出来结果不一样时,就要检查一下方法有没有错,如果方法没错,就要考虑结果是不是等价,特别是结果中含有反三角函数时,等价的情况有很多.
因为同一个角的反余弦和反正弦值之和为常数：arcsinA+arccosA=π/2
所以arccos(1/x)+arcsin(1/x)=π/2
arccos(1/x)=-arcsin(1/x)+π/2
它们相差一个常数,所以是等价的
不同的方法求出来结果不一样时,就要检查一下方法有没有错,如果方法没错,就要考虑结果是不是等价,特别是结果中含有反三角函数时,等价的情况有很多.