将函数f(x)=1/x^2+5x+6展开成(x-4)的幂级数,并求展开式成立的区间

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/10 23:04:57

利用常见函数的幂级数展开
1/(1-x) = Σ[n=(0,∝)] x^n,x∈(-1,1)
所以f(x)=1/(x^2+5x+6)
=1/[(x+2)(x+3)]
=1/(x+2) - 1/(x+3)
=1/[6+(x-4)] - 1/[7+(x-4)]
=(1/6) * 1/[1+(x-4)/6] - (1/7) * 1/[1+(x-4)/7]
=(1/6) * 1/[1-(-1)*(x-4)/6] - (1/7) * 1/[1-(-1)*(x-4)/7]
=(1/6) * Σ[n=(0,∝)] [(-1)*(x-4)/6]^n - (1/7) * Σ[n=(0,∝)] [(-1)*(x-4)/7]^n
=Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * { (1/6)*[(x-4)/6]^n - (1/7)*[(x-4)/7]^n }
=Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * [ (x-4)^n / 6^(n+1) - (x-4)^n / 7^(n+1) ]
=Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * [ 1/6^(n+1) - 1/7^(n+1) ] * (x-4)^n
由(-1)*(x-4)/6∈(-1,1),得x∈(-2,10)
由(-1)*(x-4)/7∈(-1,1),得x∈(-3,11)
所以x∈(-2,10)
综上所述,f(x) = 1/(x^2+5x+6) = Σ[n=(0,∝)] (-1)^n * [ 1/6^(n+1) - 1/7^(n+1) ] * (x-4)^n,x∈(-2,10)

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