神马作文网2013考研数学1,第4题关于二重积分的极坐标变换有疑问
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/10 13:19:53
2013考研数学1,第4题关于二重积分的极坐标变换有疑问
请问I3,I4的后面的√2r是怎么算的?我们只学过x=rcosx,y=rsiny的变换
请问I3,I4的后面的√2r是怎么算的?我们只学过x=rcosx,y=rsiny的变换
你好!
这里其实用到二重积分的换元法.书上也有这类例题.
以L3为例,L3的椭圆方程可化为x²/2 + y²=1,
作广义极坐标变换,有：x=(√2)rcosθ,y=rsinθ,
于是将XOY上的积分域D变为rOθ上的D‘,
知D‘上r∈[0,1],θ∈[0,2π],
=>D'上雅可比式J(r,θ)=∂(x,y)/∂(r,θ)=r√2,
=>dxdy=|J(r,θ)|drdθ=(√2)rdrdθ,(这里的|J(r,θ)|是行列式,微积分上册里有介绍的,估计你应该学过了,不作展开),
全部换元就有∫∫D：f(x,y)dxdy=∫∫D’：f(x(r,θ),y(r,θ))(√2)rdrdθ,就是答案解析里等号后面的积分式,
同理,对L4也作类似换元即可.
我上次的解法和这种其实差不多的,可能没这个直观而已.
祝愉快
这里其实用到二重积分的换元法.书上也有这类例题.
以L3为例,L3的椭圆方程可化为x²/2 + y²=1,
作广义极坐标变换,有：x=(√2)rcosθ,y=rsinθ,
于是将XOY上的积分域D变为rOθ上的D‘,
知D‘上r∈[0,1],θ∈[0,2π],
=>D'上雅可比式J(r,θ)=∂(x,y)/∂(r,θ)=r√2,
=>dxdy=|J(r,θ)|drdθ=(√2)rdrdθ,(这里的|J(r,θ)|是行列式,微积分上册里有介绍的,估计你应该学过了,不作展开),
全部换元就有∫∫D：f(x,y)dxdy=∫∫D’：f(x(r,θ),y(r,θ))(√2)rdrdθ,就是答案解析里等号后面的积分式,
同理,对L4也作类似换元即可.
我上次的解法和这种其实差不多的,可能没这个直观而已.
祝愉快