证明函数x^2+y^2≠0时,f（x,y）=sin（xy）/√（x^2+y^2）,x^2+y^2=0时f（x,y）=0在

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/11 09:15:43

证明函数x^2+y^2≠0时,f（x,y）=sin（xy）/√（x^2+y^2）,x^2+y^2=0时f（x,y）=0在（0,0）处连续

注意：∫∫f(x,y)dxdy其实是一个常数,设a=∫∫f(x,y)dxdy
则：f(x,y)=[1-(x^2+y^2)]^0.5-πa/8
两边做二重积分得：
∫∫f(x,y)dxdy 积分区域为：x²+(y-1/2)²≤1/4,x≥0,圆的极坐标方程为：r=sinθ,θ：0--->π/2
=∫∫ {[1-(x^2+y^2)]^0.5-πa/8} dxdy
=∫∫ [1-(x^2+y^2)]^0.5dxdy-πa/8∫ dxdy
后一个被积函数为1,结果为区域面积,即半圆面积
=∫∫ [1-(x^2+y^2)]^0.5dxdy-(πa/8)*(1/2)*π(1/2)²
=∫∫ √(1-r²)*rdrdθ-(π²a/64)
=∫[0--->π/2]dθ∫[0--->sinθ] √(1-r²)*rdr-(π²a/64)
=1/2∫[0--->π/2]dθ∫[0--->sinθ] √(1-r²)d(r²)-(π²a/64)
=-(1/2)(2/3)∫[0--->π/2] (1-r²)^(3/2) |[0--->sinθ]dθ-(π²a/64)
=(1/3)∫[0--->π/2] (1-cos³θ) dθ-(π²a/64)
=(1/3)∫[0--->π/2] 1 dθ-(1/3)∫[0--->π/2] cos³θ dθ-(π²a/64)
=(1/3)(π/2)-(1/3)∫[0--->π/2] cos²θ d(sinθ)-(π²a/64)
=(1/3)(π/2)-(1/3)∫[0--->π/2] (1-sin²θ) d(sinθ)-(π²a/64)
=(1/3)(π/2)-(1/3)(sinθ-(1/3)sin³θ)-(π²a/64) |[0--->π/2]
=(π/6)-(1/3)(1-(1/3))-(π²a/64)
=(π/6)-(2/9)-(π²a/64)
因此：a=(π/6)-(2/9)-(π²a/64)
解得：a=[(π/6)-(2/9)]/[1+(π²/64)]=(32/9)*(3π-4)/(64+π²)
因此：f(x,y)=[1-(x^2+y^2)]^0.5-π/8*a
得：f(x,y)=[1-(x^2+y^2)]^0.5-(4π/9)*(3π-4)/(64+π²)
再问：这是个证明题
再答：嗯你说是就是吧
再问：我需要证明过程
再答：你到底采纳不采纳

验证过程一大堆
你写上去就是了

证明函数x^2+y^2≠0时,f（x,y）=sin（xy）/√（x^2+y^2）,x^2+y^2=0时f（x,y）=0在 f（x+y,xy）=x^2+y^2 二重极限问题证明函数f(x,y)=(x*y^2)/(x^2+y^4) 当（x,y）->(0,0）时极限不存在设f（x+y,xy）=x^2+y^2,则f（x,y）已知函数f（x+y）+f（x-y）=2f（x）,且f（0）≠0,证明f（x）为偶函数定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)*f(y),且f（0）≠0,判断f（x 设函数f（x,y)=sin(x+y),那么f(0,xy）=( ) f(x) 在定义域（0,正无穷）上是增函数,满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).求不等式f(x)+f(x- 证明二元函数z=f（x,y） =xy/x^2+y^2 x,y≠0 =0 x,y=0 在（0,0）的偏导存在,但是不连续. 求极限(工本高数）lim [2-(xy+4)^(1/2)]/xyx->0y->0证明函数f(x,y)=(x+y)/(x- 若定义域为R函数f(x)满足f(x+y)=2*f(x)*f(y),且f(0)不等于0,证明f（x）是偶函数 3道高数题1,若函数 f(x,y)= sin(x^2 * y) / xy (xy不等于0) ,f(x,y) = 0 (x