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m×n矩阵的秩为r,a1,a2,……,a(n-r+1)是非齐次线性方程组AX=B的n-r+1个线性无关的解向量,证明:a

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/23 19:09:27
m×n矩阵的秩为r,a1,a2,……,a(n-r+1)是非齐次线性方程组AX=B的n-r+1个线性无关的解向量,证明:a1-a(n-r+1),a2-a(n-r+1),……,a(n-r)-a(n-r+1)线性无关.
m×n矩阵的秩为r,a1,a2,……,a(n-r+1)是非齐次线性方程组AX=B的n-r+1个线性无关的解向量,证明:a
证明:设 k1(a1-a(n-r+1))+k2(a2-a(n-r+1))+……+k(n-r)(a(n-r)-a(n-r+1))=0.
则 k1a1+k2a2+...+k(n-r)a(n-r)+(-k1-k2-...-k(n-r))a(n-r+1)=0
由于 a1,a2,……,a(n-r+1) 线性无关
所以 k1=k2=...=k(n-r)=0.
所以 a1-a(n-r+1),a2-a(n-r+1),……,a(n-r)-a(n-r+1)线性无关.
注:并不需要向量是方程组的解的条件,只需线性无关即可.