如何计算定积分e^(-x^2)dx,积分区间为负无穷到零

如何计算定积分e^(-x^2)dx,积分区间为负无穷到零

设你所要求的积分为A,
令 B＝ ∫ e^(-x^2)dx 积分区间为负无穷到正无穷,
又 B＝ ∫ e^(-y^2)dy 积分区间为负无穷到正无穷
被积函数e^（-x^2）在正负无穷上偶函数,所以A=B/2
B^2= (∫ e^(-x^2)dx)*(∫ e^(-y^2)dy) = ∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy
将上述积分化到极坐标中,x^2+y^2=r^2
∫ ∫ e^(-(x^2+y^2))dx dy = ∫ ∫ r e^(-r^2)dr dθ r从0到正无穷,θ从0到2π
= ∫ 1/2 dθ θ从0到2π
= π
所以B＝√π
所以你要求的原积分就是 B/2 = √π /2
当然,你要是知道B＝ ∫ e^(-x^2)dx 这个积分是泊松积分,而泊松积分的值就等于√π的话,这道题目的答案不用计算就知道是√π/2,泊松积分这样的常用积分的值你如果能记住的话,对快速解题很有帮助.
泊松积分的计算有两种方法,上面的是把积分化成二重积分来计算,还有一种方法同上面的方法差不多,是把该积分化成喊参变量的积分后再通过夹逼准则来计算,具体你有兴趣的话可以去翻一下有关的高数和数分的教科书.
再问： 请问那如果是这个积分呢？积分区间依旧不变的话
再答： 答案就是 √(2π)/2 方法一 解题步骤跟上面的一样，先把积分区间拓展到负无穷到正无穷，然后化成二重积分 B^2= (∫ e^[(-x^2)/2]dx)*(∫ e^[(-y^2)/2]dy) = ∫ ∫ e^(-(x^2+y^2)/2)dx dy 在化成极坐标 上世= ∫ ∫ r e^[(-r^2)/2]dr dθ = ∫ 1 dθ θ从0到2π = 2π B^2 = 2π B= √(2π) 所以原积分就等于 B/2 = √(2π)/2 方法完全一样啊 方法二 你把原积分区间拓展后的B这个积分写成 √2 ∫ e^[(-x^2)/2] d (x/√2) 你令 t= x/√2 上面的积分就成了 √2 ∫ e^(-t^2)dt 你看积分部分还是泊松积分，泊松积分的值为√π，所以B就等于√(2π) 最后答案 B/2 = √(2π)/2 答案完全一样。 方法三 原积分= ∫ e^[(-x^2)/2] dx = [√(2π)/√(2π)] ∫ e^[(-x^2)/2] dx 这一步就是积分前加个系数，乘以 √(2π)再除以√(2π)，结果还是1。 然后 原式 = √(2π)* 【[1/√(2π)] ∫ e^[(-x^2)/2] dx 】 【】大括号里的式子，它就是概率统计中的N(0,1)的正太分布的分布函数，有N(0,1)的概率分布函数的性质可知，他在积分区间为正无穷到负无穷是【】里的式子等于1，所以当他的积分区间为负无穷到0，他的值就是1/2。 所以原式=√(2π)* （1/2）=√(2π)/2 解题的方法有很多，你要会灵活运用啊。