已知α+β=1,αβ=-1.设S1=α+β,S2=α2+β2,S3=α3+β3,…,Sn=αn+βn
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 04:23:41
已知α+β=1,αβ=-1.设S1=α+β,S2=α2+β2,S3=α3+β3,…,Sn=αn+βn
(1)计算:S1=______,S2=______,S3=______,S4=______;
(2)试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系;
(3)根据以上得出结论计算:α7+β7.
(1)计算:S1=______,S2=______,S3=______,S4=______;
(2)试写出Sn-2、Sn-1、Sn三者之间的关系;
(3)根据以上得出结论计算:α7+β7.
(1)∵α+β=1,αβ=-1.
∴S1=α+β=1.
S2=α2+β2=(α+β)2-2αβ=1+2=3.
S3=α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)2-3αβ=1+3=4.
S4=α4+β4=(α2+β2)2-2α2β2=9-2=7.
故答案为:1,3,4,7;
(2)由(1)得:Sn=Sn-1+Sn-2.
证明:∵α,β是方程x2-x-1=0的两根,
∴有:α2=α+1,β2=β+1,
Sn-1+Sn-2=αn-1+βn-1+αn-2+βn-2
=
αn
α+
αn
α2+
βn
β+
βn
β2
=
αn(1+α)
α2+
βn(1+β)
β2
=αn+βn
=Sn.
故Sn=Sn-1+Sn-2.
(3)由(2)有:
α7+β7=S7
=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4
=29.
∴S1=α+β=1.
S2=α2+β2=(α+β)2-2αβ=1+2=3.
S3=α3+β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)2-3αβ=1+3=4.
S4=α4+β4=(α2+β2)2-2α2β2=9-2=7.
故答案为:1,3,4,7;
(2)由(1)得:Sn=Sn-1+Sn-2.
证明:∵α,β是方程x2-x-1=0的两根,
∴有:α2=α+1,β2=β+1,
Sn-1+Sn-2=αn-1+βn-1+αn-2+βn-2
=
αn
α+
αn
α2+
βn
β+
βn
β2
=
αn(1+α)
α2+
βn(1+β)
β2
=αn+βn
=Sn.
故Sn=Sn-1+Sn-2.
(3)由(2)有:
α7+β7=S7
=S6+S5
=S5+S4+S4+S3
=S4+S3+2S4+S3
=3S4+2S3
=3×7+2×4
=29.
已知α+β=1,αβ=-1.设S1=α+β,S2=α2+β2,S3=α3+β3,…,Sn=αn+βn
已知Sn=1/2n(n+1),Tn=S1+S2+S3+.+Sn,求Tn.
已知s1=1,s2=1+2,s3=1+2+3,.sn=1+2+3+.+n,求Dn=s1+s2+s3,.sn
高中数学数列证明已知Sn=2^n-1证明:n/2 - 1/3 < S1/S2 + S2/S3 +.+ Sn/Sn+1 <
sn=n^2 求证1/s1+1/s2+1/s3……1/sn
已知α+β=1,αβ=-1,设S1=α+β,S2=α²+β²,S3=α³+β³…
An=2n-1,求证1/s1+1/s2+1/s3+…+1/sn
已知数列an的前项和为Sn,a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=n^2+cn,S1,S2/2,S3/3成等差数列.(1
S1+S2+S3+……+S2008=?Sn=1/2×【(1-n/n)+(n/n+1)】 S1=4/1,S2=7/12,S
Sn=n^2+2n 求1/S1+1/S2+1/S3+……+1/Sn
an=3n,Sn为前n项和,求1/S1+1/S2+1/S3+…+1/Sn.
设Sn=1*2/1+2*3/1+3*4/1+.n*(n+1)/1,写出S1,S2,S3,S4的值,归纳并猜想出结果