设函数f(x)=x-[ln(1+x)]/(1+x),

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/17 15:03:22

设函数f(x)=x-[ln(1+x)]/(1+x),
1,令N(x)=(1+x)^2-1+ln(1+x),判断并证明N(x）在（-1,+∞）上的单调性,并求N(0）；
2,求函数f(x)在定义域上的最小值；
3,是否存在实数M,N满足0≤M＜N,使f(x)在区间[M,N]上值遇也为[M,N].

我来完善一下,一二三楼答的太乱了.设t=1+x.
1,原函数N'(x)=2(1+x)+1/(1+x)≥2√2,函数定义域有对数函数性质得：（-1,+&）
因为：y=t^2在（0,+&）为单调递增,且y=lnt在（0,+&）单调递增,所以原函数在（-1,+&）单调递增,N(0)=0.
2,f'(x)=1-1/(1+x)^2+ln(1+x)/(1+x)^2
令f'(x)=1-1/(1+x)^2+ln(1+x)/(1+x)^2=0
解得（x+1)^2=1-ln(1+x)
令1+x=t变形得:t^2-1=-lnt
画图形可以得到只有一解t=1(你应该会画),所以x=0
当x>0,f'(x)>0
f(x)在（-1,0）单调递减,在（0,＋∞）单调递增；
最小值在0处取得为0.
3,根据f(x)的单调性
f（M）=M,f（N)=N.-[ln(1+x)]/(1+x)=0.
x仅有一解,所以不存在实数M,N满足0≤M＜N,使f(x)在区间[M,N]上值遇也为[M,N].

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