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已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/11/23 20:04:21
已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)当弦AB长度最短时,求l的方程及弦AB的长度;
(2)求M的轨迹方程.
已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.
(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.
当AB⊥MC时弦AB最短,此时AB=2
R2−CP2=4
2,l的方程x-2y+2=0;
(2)设M(x,y),则

CM=(x,y-4),

MP=(2-x,2-y),
由题设知

CM•

MP=0,
故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.
由于点P在圆C的内部,
所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.