已知数列{an}与圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/29 23:35:03
已知数列{an}与圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0
已知数列{an}与圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若a1=-3,则当圆C1的半径最小时,求出圆C1的方程.
(3)若圆C3为(2)中求出的圆C1的同心圆,且半径为2.设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C2和C3相交,且直线l1被圆C2截得的弦长与直线l2被圆C3截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标
(前两题做铺垫,关键是第三题,)
已知数列{an}与圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)若a1=-3,则当圆C1的半径最小时,求出圆C1的方程.
(3)若圆C3为(2)中求出的圆C1的同心圆,且半径为2.设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C2和C3相交,且直线l1被圆C2截得的弦长与直线l2被圆C3截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标
(前两题做铺垫,关键是第三题,)
(1)圆C1:x2+y2-2anx+2ay-1=0①
圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0,②
②-①,(2+2an)x+(2-2a)y-1=0,③
圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长,
∴AB过圆C2的圆心(-1,-1),代入③整理得a-an=5/2,
∴数列{an}是等差数列.
(2)a1=-3,
∴an=-3+5(n-1)/2=(5n-11)/2,
a=(5n-6)/2,
圆C1的半径r(n)=√[an^+a^+1]=(1/2)√(50n^-170n+161),
n=2时r(n)最小,这时圆C1:x^2+y^2+x+4y-1=0.
(3)圆C3:(x+1/2)^2+(y+2)^=4,
圆C2:(x+1)^2+(y+1)^2=4,
设P(p,q),l1:y-q=k(x-p),l2:y-q=(-1/k)(x-p),
圆C2,C3是等圆,直线l1被圆C2截得的弦长与直线l2被圆C3截得的弦长相等,
l1的弦心距=l2的弦心距,
|k(-1-p)+1+q|/√(1+k^2)=|(1/k)(-1/2-p)-2-q|/√(1+1/k^2),
|k(-1-p)+1+q|=|-1/2-p+k(-2-q)|,
k(-1-p)+1+q=土[-1/2-p+k(-2-q)],
k(1-p+q)=-3/2-p-q,或k(-3-p-q)+1/2-p+q=0,对任k成立,
∴1-p+q=0,-3/2-p-q=0,或-3-p-q=0,1/2-p+q=0,
分别解得p=-1/4,q=-5/4;或p=-5/4,q=-7/4.
∴P(-1/4,-5/4)或(-5/4,-7/4).
圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0,②
②-①,(2+2an)x+(2-2a)y-1=0,③
圆C1与圆C2交于A,B两点且这两点平分圆C2的周长,
∴AB过圆C2的圆心(-1,-1),代入③整理得a-an=5/2,
∴数列{an}是等差数列.
(2)a1=-3,
∴an=-3+5(n-1)/2=(5n-11)/2,
a=(5n-6)/2,
圆C1的半径r(n)=√[an^+a^+1]=(1/2)√(50n^-170n+161),
n=2时r(n)最小,这时圆C1:x^2+y^2+x+4y-1=0.
(3)圆C3:(x+1/2)^2+(y+2)^=4,
圆C2:(x+1)^2+(y+1)^2=4,
设P(p,q),l1:y-q=k(x-p),l2:y-q=(-1/k)(x-p),
圆C2,C3是等圆,直线l1被圆C2截得的弦长与直线l2被圆C3截得的弦长相等,
l1的弦心距=l2的弦心距,
|k(-1-p)+1+q|/√(1+k^2)=|(1/k)(-1/2-p)-2-q|/√(1+1/k^2),
|k(-1-p)+1+q|=|-1/2-p+k(-2-q)|,
k(-1-p)+1+q=土[-1/2-p+k(-2-q)],
k(1-p+q)=-3/2-p-q,或k(-3-p-q)+1/2-p+q=0,对任k成立,
∴1-p+q=0,-3/2-p-q=0,或-3-p-q=0,1/2-p+q=0,
分别解得p=-1/4,q=-5/4;或p=-5/4,q=-7/4.
∴P(-1/4,-5/4)或(-5/4,-7/4).
已知数列{an}与圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0,若圆C1与
已知数列{an}与圆C1:x2+y2-2anx+2an+1y-1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y-2=0
已知圆C1:x2+y2+4x+1=0和圆C2:x2+y2+2x+2y+1=0,则以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程
已知圆C1:x2+y2+2x+3y+1=0,圆C2:x2+y2+4x+3y=0,则圆C1与圆C2的位置关系是 ___ .
已知圆C1:x2+y2+2x+2y-8=0与圆C2:x2+y2-2x+10y-24=0
圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的公共弦所在直线被圆C3:(x-1)
已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0(1)求过点(2,1)且垂直于圆C1和圆C2的公
求圆C1:X2+y2-2y=0与圆C2:x2+y2-2√3x-1=0的公切线方程
已知圆c1:x2+y2-2kx+k2-1=0和圆c2:x2+y2-2(k+1)y+k2+2k=0
已知:C1:x2+y2+4x+4y-1=0 (x2和y2是 x和y的平方)C2:x2+y2+2x+2y-1=0相交于AB
求与圆C:x2+y2-2x=0 C2:X2+Y2+4Y=0求圆c1、c2的切线长
已知圆C1:x2+y2-4x+6y=0,圆C2:x2+y2+2x+8y=0,求两圆的圆心距.