求证:当x>1时,lnx/x+1+1/x>lnx/x-1
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/27 09:22:58
求证:当x>1时,lnx/x+1+1/x>lnx/x-1
∵x>1,∴lnx>0、x-1>0.
∴要证明:lnx/(x+1)+1/x>lnx/(x-1),只需要证明:
(x-1)lnx+(x^2-1)/x>(x+1)lnx,只需要证明:
xlnx-lnx+(x^2-1)/x>xlnx+lnx,只需要证明:(x^2-1)/x>2lnx,只需要证明:
x^2-1>2xlnx,只需要证明:x^2-2xlnx-1>0.
令y=x^2-2xlnx-1.
求导数,得:y′=2x-2lnx-2=2(x-lnx-1).
再令z=x-lnx-1.
求导数,得:z′=1-1/x、 z″=1/x^2>0,∴当z′=0时,即x=1时,z有极小值为0.
∵x>1,∴1>1/x,z′=1-1/x>0.
∴当x>1时,z=x-lnx-1是增函数,而当x=1时,z的极小值为0,∴当x>1时,z>0.
由z=x-lnx-1>0,得:2(x-lnx-1)>0,∴当x>1时,y′=2(x-lnx-1)>0.
∴当x>1时,y=x^2-2xlnx-1是增函数.
显然,当x=1时,y=1-0-1=0,∴当x>1时,y=x^2-2xlnx-1>0.
∴当x>1时,lnx/(x+1)+1/x>lnx/(x-1).
∴要证明:lnx/(x+1)+1/x>lnx/(x-1),只需要证明:
(x-1)lnx+(x^2-1)/x>(x+1)lnx,只需要证明:
xlnx-lnx+(x^2-1)/x>xlnx+lnx,只需要证明:(x^2-1)/x>2lnx,只需要证明:
x^2-1>2xlnx,只需要证明:x^2-2xlnx-1>0.
令y=x^2-2xlnx-1.
求导数,得:y′=2x-2lnx-2=2(x-lnx-1).
再令z=x-lnx-1.
求导数,得:z′=1-1/x、 z″=1/x^2>0,∴当z′=0时,即x=1时,z有极小值为0.
∵x>1,∴1>1/x,z′=1-1/x>0.
∴当x>1时,z=x-lnx-1是增函数,而当x=1时,z的极小值为0,∴当x>1时,z>0.
由z=x-lnx-1>0,得:2(x-lnx-1)>0,∴当x>1时,y′=2(x-lnx-1)>0.
∴当x>1时,y=x^2-2xlnx-1是增函数.
显然,当x=1时,y=1-0-1=0,∴当x>1时,y=x^2-2xlnx-1>0.
∴当x>1时,lnx/(x+1)+1/x>lnx/(x-1).
已知f(x)=lnx+(1/x)(x>0),g(x)=lnx-x(x>0)求证当x>0时,xln(1+1/x)
设a≥0,f(x)=x-1-(lnx)^2+2alnx(x>0) 求证:当x>1时,恒有x>(lnx)^2-2alnx+
不定积分(1-lnx)dx/(x-lnx)^2
∫(1-lnx)/(x-lnx)^2dx
求(1-lnx)/(x+lnx)^2的积分 (x+lnx)^2为x+lnx的平方
不定积分1/(lnx-x)+(1-x)/(x-lnx)^2dx
已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=lnx/x,求证f(x)>g(x)+1/2
y=(lnx)^x 求导数 答案是(lnx)^x乘以[ln(lnx)+1/lnx]
x→0时,ln(lnx)=lnx ln(ln(1+x)=lnx
limx*[ln(1+x)-lnx]
lnx/(1+x)幂级数展开
∫x(1+lnx)dx