(2014•陕西)问题探究
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/10/08 02:25:16
(2014•陕西)问题探究
(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长;
(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长;
问题解决
(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由.
(1)如图①,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使△APD为等腰三角形,那么请画出满足条件的一个等腰三角形△APD,并求出此时BP的长;
(2)如图②,在△ABC中,∠ABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高,E、F分别为边AB、AC的中点,当AD=6时,BC边上存在一点Q,使∠EQF=90°,求此时BQ的长;
问题解决
(3)有一山庄,它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置,用来监视边AB,现只要使∠AMB大约为60°,就可以让监控装置的效果达到最佳,已知∠A=∠E=∠D=90°,AB=270m,AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使∠AMB=60°?若存在,请求出符合条件的DM的长,若不存在,请说明理由.
(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①,
则PA=PD.
∴△PAD是等腰三角形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠C=90°.
∵PA=PD,AB=DC,
∴Rt△ABP≌Rt△DCP(HL).
∴BP=CP.
∵BC=4,
∴BP=CP=2.
②以点D为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P′,如图①,
则DA=DP′.
∴△P′AD是等腰三角形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°.
∵AB=3,BC=4,
∴DC=3,DP′=4.
∴CP′=
42−32=
7.
∴BP′=4-
7.
③点A为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P″,如图①,
则AD=AP″.
∴△P″AD是等腰三角形.
同理可得:BP″=
7.
综上所述:在等腰三角形△ADP中,
若PA=PD,则BP=2;
若DP=DA,则BP=4-
7;
若AP=AD,则BP=
7.
(2)∵E、F分别为边AB、AC的中点,
∴EF∥BC,EF=
1
2BC.
∵BC=12,
∴EF=6.
以EF为直径作⊙O,过点O作OQ⊥BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.
∵AD⊥BC,AD=6,
∴EF与BC之间的距离为3.
∴OQ=3
∴OQ=OE=3.
∴⊙O与BC相切,切点为Q.
∵EF为⊙O的直径,
∴∠EQF=90°.
过点E作EG⊥BC,垂足为G,如图②.
∵EG⊥BC,OQ⊥BC,
∴EG∥OQ.
∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,
∴四边形OEGQ是正方形.
∴GQ=EO=3,EG=OQ=3.
∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,
∴BG=
则PA=PD.
∴△PAD是等腰三角形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=DC,∠B=∠C=90°.
∵PA=PD,AB=DC,
∴Rt△ABP≌Rt△DCP(HL).
∴BP=CP.
∵BC=4,
∴BP=CP=2.
②以点D为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P′,如图①,
则DA=DP′.
∴△P′AD是等腰三角形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=DC,∠C=90°.
∵AB=3,BC=4,
∴DC=3,DP′=4.
∴CP′=
42−32=
7.
∴BP′=4-
7.
③点A为圆心,AD为半径画弧,交BC于点P″,如图①,
则AD=AP″.
∴△P″AD是等腰三角形.
同理可得:BP″=
7.
综上所述:在等腰三角形△ADP中,
若PA=PD,则BP=2;
若DP=DA,则BP=4-
7;
若AP=AD,则BP=
7.
(2)∵E、F分别为边AB、AC的中点,
∴EF∥BC,EF=
1
2BC.
∵BC=12,
∴EF=6.
以EF为直径作⊙O,过点O作OQ⊥BC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.
∵AD⊥BC,AD=6,
∴EF与BC之间的距离为3.
∴OQ=3
∴OQ=OE=3.
∴⊙O与BC相切,切点为Q.
∵EF为⊙O的直径,
∴∠EQF=90°.
过点E作EG⊥BC,垂足为G,如图②.
∵EG⊥BC,OQ⊥BC,
∴EG∥OQ.
∵EO∥GQ,EG∥OQ,∠EGQ=90°,OE=OQ,
∴四边形OEGQ是正方形.
∴GQ=EO=3,EG=OQ=3.
∵∠B=60°,∠EGB=90°,EG=3,
∴BG=
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问题探究。
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