如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆O 1 和半圆O 2 ，其中O 1 和O 2 分别为两个半

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/09/22 22:19:05

（1）证明：如图一，

∵O₁ ，O₂ ，F分别是AB，AC，BC边的中点，
∴O₁ F ∥ AC且O₁ F=AO₂ ，O₂ F ∥ AB且O₂ F=AO₁ ，
∴∠BO₁ F=∠BAC，∠CO₂ F=∠BAC，
∴∠BO₁ F=∠CO₂ F
∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，
∴O₁ F=AO₂ =O₂ E，O₂ F=AO₁ =O₁ D，
∠BO₁ D=90°，∠CO₂ E=90°，
∴∠BO₁ D=∠CO₂ E．
∴∠DO₁ F=∠FO₂ E．
∴△DO₁ F≌△FO₂ E；

（2）如图二，延长CA至G，使AG=AQ，连接BG、AE．

∵点E是半圆O₂ 圆弧的中点，
∴AE=CE=3
∵AC为直径
∴∠AEC=90°，
∴∠ACE=∠EAC=45°，AC=
A E 2 +C E 2 = 3
2 ，
∵AQ是半圆O₂ 的切线，
∴CA⊥AQ，
∴∠CAQ=90°，
∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°，
∴AQ=AC=AG= 3
2 ，
同理：∠BAP=90°，AB=AP= 5
2 ，
∴CG= 6
2 ，∠GAB=∠QAP，
∴△AQP≌△AGB．
∴PQ=BG，
∵∠ACB=90°，
∴BC=
A B 2 -A C 2 = 4
2 ，
∴BG=
G C 2 +B C 2 = 2
26 ，
∴PQ= 2
26 ；

（3）如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM．

∵F是BC边的中点，∴S_△ABF =S_△ACF ．
∴BR=CS，
由（2）已证∠CAQ=90°，AC=AQ，
∴∠2+∠3=90°
∵FM⊥PQ，∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
同理：∠2=∠4，
∴△AMQ≌△CSA，
∴AM=CS，
∴AM=BR，
同（2）可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°，
∴∠ADB=∠ARB=90°，∠ADP=∠AMP=90°
∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，
且∠DBR+∠DAR=180°，
∴∠5=∠8，∠6=∠7，
∵∠DAM+∠DAR=180°，
∴∠DBR=∠DAM
∴△DBR≌△DAM，
∴∠5=∠9，
∴∠RDM=90°，
∴∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB，又AB是半圆O₁ 直径，
∴PA是半圆O₁ 的切线．

如图，在△ ABC 中，分别以 AB ， AC 为直径在△ ABC 外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心. 如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E.过半圆上一点F作半如图在△ABC中,角C=90°,AC=9,BC=12.O为BC边上一点,以O为圆心,OB为半径作半圆与BC边和AB边分别已知，如图，在三角形ABC中，AB=AC。以腰AB为直径作半圆O，分别交BC,AC于点D,E 问（2013•高淳县一模）如图，在△ABC中，AB=AC，cosA=45．以AB为直径作半圆，圆心为O，半圆分别交BC、A 如图，在△ABC中，AB=AC，以腰AB为直径画半圆O，分别交BC，AC于点D，E；如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的半圆O分别交AB、BC于点D、E．如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为 2 3 如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为 2 3 ．如图,在三角形ABC中,AB=AC,以腰AB为直径画半圆O,分别交BC,AC于点D,E. （2006•韶关）如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为23 如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为。