证明有关三角形边长的不等式

证明有关三角形边长的不等式
设a,b,c是三角形的三条边长,求证8/5>a^2/(a^2+b^2)+b^2/(b^2+c^2)+c^2/(c^2+a^2)>7/5,请高手指教,
经比较,认为"一心小爱"的解法有一定道理,只是对最后的"则将（1）式中x用y,z代换，x=(1-yz)/(y+z)易得(1)式成立",还不得要领,请继续指教,

由于这个不等式次数较高且为分式,所以其初等方法计算量较大,见谅
先介绍三角形中的常用公式：
1在三角形ABC中,恒有cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1
2对于任意角A,恒有(sinA)^2=1/[1+(cotA)^2]
以上两式证明极其简单,略.
由三角形正玄定理,
8/5>a^2/(a^2+b^2)+b^2/(b^2+c^2)+c^2/(c^2+a^2)>7/5
8/5>(sinA)^2/[(sinA)^2+(sinB)^2]+(sinB)^2/[(sinB)^2+(sinC)^2]+(sinC)^2/[(sinC)^2+(sinA)^2]>7/5
根据上面介绍的三角公式2,原不等式进一步转化为
8/5>[(cotB)^2+1]/[(cotA)^2+(cotB)^2+2]+[(cotC)^2+1]/[(cotB)^2+(cotC)^2+2]+[(cotA)^2+1]/[(cotC)^2+(cotA)^2+2]>7/5
为了书写简便,设cotA=x cotB=y cotC=z
原题目转化为
已知：xy+yz+zx=1
求证：8/5>(y^2+1)/(x^2+y^2+2)+(z^2+1)/(y^2+z^2+2)+(x^2+1)/(z^2+x^2+2)>7/5
因为x^2+1=x^2+xy+yz+zx=(x+y)(x+z)
y^2+1=y^2+xy+yz+zx=(y+z)(y+x)
z^2+1=z^2+xy+yz+zx=(z+x)(z+y)
所以带入原式消元可得,只需证：
8/5>(y+z)/(x+y+2z)+(z+x)/(y+z+2x)+(x+y)/(z+x+2y)>7/5
下面证明(y+z)/(x+y+2z)+(z+x)/(y+z+2x)+(x+y)/(z+x+2y)>7/5
通分消去相同项可等价转化得：
x^3+y^3+z^3+8xyz+(x^2y+y^2z+z^2x)+6(xy^2+yz^2+zx^2)>0...(1)
当原三角形为锐角三角形时,x,y,z>0此时(1)式显然成立
当原三角形为钝角三角形时,不妨设x0
则将（1）式中x用y,z代换,x=(1-yz)/(y+z)易得(1)式成立
同理可证8/5>(y+z)/(x+y+2z)+(z+x)/(y+z+2x)+(x+y)/(z+x+2y)
所以原不等式得证
对于提问者的疑问,我在下面补充过程,但由于过程复杂,我只能尽可能的详细,见谅
将（1）式中x用y,z代换,然后在不等式两边同乘以(y+z)^3,得：
(1-yz)(y+z)^2+(y+z)^4+(1-yz)^3+(y^3+z^3)*(y+z)^3+5y^2(1-yz)(y+z)^2+5yz^2(y+z)^3+
5yz(1-yz)(y+z)^2+(1-yz)^2(z)(y+z)>0
合并同类项并展开消项,得：
y^6+z^6+1+6yz^3+18y^3z+20y^2z^2+z^4+6y^2+y^2+2z^2+14y^4z^2+2y^3z^3+8yz^5>7y^2z^4+2y^5z
则y^6+z^6+1+6yz^3+18y^3z+20y^2z^2+z^4+6y^2+y^2+2z^2+14y^4z^2+2y^3z^3+8yz^5>(y^6+y^4z^2)+
(2y^3z^3+8yz^5)>2y^5z+8y^2z^4>2y^5z+7y^2z^4
得证