如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 19:39:04
如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.
(1)证明:EM⊥BF;
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
(1)证明:EM⊥BF;
(2)求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
(1)证明:∵EA⊥平面ABC,BM⊂平面ABC,∴EA⊥BM.
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,
而EM⊂平面ACFE,∴BM⊥EM.∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,∴AB=2
3,BC=2,AM=3,CM=1.∵EA⊥平面ABC,FC∥EA,
FC
EA=
1
3
∴FC⊥平面ABC.∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°,即EM⊥MF(也可由勾股定理证得).
∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面MBF.
而BF⊂平面MBF,∴EM⊥BF.
(2)延长EF交AC于G,连BG,过C作CH⊥BG,连接FH.由(1)知FC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,∴FC⊥BG.
而FC∩CH=C,∴BG⊥平面FCH.∵FH⊂平面FCH,∴FH⊥BG,∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的
二面角的平面角.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,
∴BM=AB•sin30°=
3,
由
FC
EA=
GC
GA=
1
3,得GC=2.
∵BG=
BM2+MG2=2
3,
又∵△GCH∽△GBM,∴
GC
BG=
CH
BM,则CH=
GC•BM
BG=
2×
3
2
3=1.
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°,
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
2
2.
又∵BM⊥AC,EA∩AC=A,∴BM⊥平面ACFE,
而EM⊂平面ACFE,∴BM⊥EM.∵AC是圆O的直径,∴∠ABC=90°.
又∵∠BAC=30°,AC=4,∴AB=2
3,BC=2,AM=3,CM=1.∵EA⊥平面ABC,FC∥EA,
FC
EA=
1
3
∴FC⊥平面ABC.∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形.
∴∠EMA=∠FMC=45°.∴∠EMF=90°,即EM⊥MF(也可由勾股定理证得).
∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面MBF.
而BF⊂平面MBF,∴EM⊥BF.
(2)延长EF交AC于G,连BG,过C作CH⊥BG,连接FH.由(1)知FC⊥平面ABC,BG⊂平面ABC,∴FC⊥BG.
而FC∩CH=C,∴BG⊥平面FCH.∵FH⊂平面FCH,∴FH⊥BG,∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的
二面角的平面角.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,AC=4,
∴BM=AB•sin30°=
3,
由
FC
EA=
GC
GA=
1
3,得GC=2.
∵BG=
BM2+MG2=2
3,
又∵△GCH∽△GBM,∴
GC
BG=
CH
BM,则CH=
GC•BM
BG=
2×
3
2
3=1.
∴△FCH是等腰直角三角形,∠FHC=45°,
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为
2
2.
如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,
如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,FC//EA,AC=4
(2014•陕西一模)如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于点M,EA⊥平面ABC,
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE⊥AC于点E,BE交⊙O于点F
如图,在⊙O中,CD是直径,弦AB交CD于点M,且C是弧ACB的中点,ME⊥AC于点E,AC=5,且CE∶EA=3∶2
(2013•南宁)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE⊥AC于点E
如图,AB是圆O的直径,M为劣弧AC的中点,弦AC与BM相交于点D,∠ABC=2∠A
如图,以BC为直径的圆O交△CFB的边CF于点A.BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME
如图,AB是圆O的直径,∠BAC=30°,M是OA上一点,过M作AB的垂线交AC于点N,交BC的延长线于点N,交BC的延
如图,AB是圆O的直径,AC是弦,∠BAC的角平分线AD交圆O于点D,DE⊥AC交AC的延长线于点E,OE交AD于点F.
如图,AB是圆O的直径,AC是弦,∠BAC的平分线AD交○O于点D,DE⊥AC交AC延长线于点E,OE交AD于点F.
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点D,E,过点B作⊙O的切线,交A