在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱BB1和DD1中点.
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/10 20:15:37
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱BB1和DD1中点.
(1)求证:平面B1FC1∥平面ADE;
(2)试在棱DC上求一点M,使D1M⊥平面ADE
(3)求二面角A1-DE-A的余弦值.
(1)求证:平面B1FC1∥平面ADE;
(2)试在棱DC上求一点M,使D1M⊥平面ADE
(3)求二面角A1-DE-A的余弦值.
(1)证明:∵E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1棱BB1和DD1中点.
∴DF∥B1E且DF=B1E
∴四边形DFB1E为平行四边形,
即FB1∥DE,
由∵AD∥B1C1(2分)
又AD∩DE=D,B1C1∩B1F=B1
∴平面B1FC∥平面ADE.(4分)
(2)证明:取DC中点M,连接D1M,
由正方体性质可知,D1M⊥B1C1,
且△DD1M≌△C1D1F (5分)所以∠D1C1F=∠DD1M,
又∠D1C1F+∠D1FC1=900
所以∠D1D1M+∠D1FC1=900
所以D1M⊥FC1(6分
又FC1∩B1C1=C1
∴D1M⊥平面B1FC1
又由(1)知平面B1FC1∥平面ADE.
所以D1M⊥平面ADE.(8分)
(3)以D为原点,端点在D的三条棱为坐标轴建立坐标系,写出要用的点的坐标,
得到
DA1=(2,0,2),
DE=(2,2,1),
设平面A1DE的法向量是
m=(p,q,r),
则有2p+2r=0,
2p+2q+r=0,
令p=1,得r=-1,q=-
1
2,
∴
m=(1,−
1
2,−1)
由(2)知平面ADE的法向量是(0,1,-2)
∴二面角的余弦值是
5
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∴DF∥B1E且DF=B1E
∴四边形DFB1E为平行四边形,
即FB1∥DE,
由∵AD∥B1C1(2分)
又AD∩DE=D,B1C1∩B1F=B1
∴平面B1FC∥平面ADE.(4分)
(2)证明:取DC中点M,连接D1M,
由正方体性质可知,D1M⊥B1C1,
且△DD1M≌△C1D1F (5分)所以∠D1C1F=∠DD1M,
又∠D1C1F+∠D1FC1=900
所以∠D1D1M+∠D1FC1=900
所以D1M⊥FC1(6分
又FC1∩B1C1=C1
∴D1M⊥平面B1FC1
又由(1)知平面B1FC1∥平面ADE.
所以D1M⊥平面ADE.(8分)
(3)以D为原点,端点在D的三条棱为坐标轴建立坐标系,写出要用的点的坐标,
得到
DA1=(2,0,2),
DE=(2,2,1),
设平面A1DE的法向量是
m=(p,q,r),
则有2p+2r=0,
2p+2q+r=0,
令p=1,得r=-1,q=-
1
2,
∴
m=(1,−
1
2,−1)
由(2)知平面ADE的法向量是(0,1,-2)
∴二面角的余弦值是
5
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(2010•沈阳二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为棱BB1和DD1的中点.
(2011•石景山区一模)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱BB1,DD1和CC1的中点
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点
如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、H分别是棱BB1、CC1、DD1的中点.
(2014•沈阳模拟)在棱长为a的正方体A1B1C1D1-ABCD中,E,F分别为DD1,BB1的中点,G为线段D1F上
如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BB1的中点,求三棱锥D1-AEF的体积,并求
在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别棱DD1,BB1的中点,求三棱锥D1-AEF的体积,并求出点
在棱长为a正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,H分别是棱BB1,CC1,DD1的中点.求直线AF与平面A1EFD
在棱长为a正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,H分别是棱BB1,CC1,DD1的中点. 求直线AF与平面A1EF
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1中点,求证EF⊥CF
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1中点.求CE的长
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点,