神马作文网中值定理的证明问题,不太会做（mean value theorem）
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/12 19:36:20
中值定理的证明问题,不太会做（mean value theorem）
利用中值定理证明以下各题：
1.证明对于x>0,arccos(（1-x^2）/（1+x^2）)=2arctanx.
2.对于任意x,证明|sins-siny|
第二题打错字了，那个sins理应是sinx
利用中值定理证明以下各题：
1.证明对于x>0,arccos(（1-x^2）/（1+x^2）)=2arctanx.
2.对于任意x,证明|sins-siny|
第二题打错字了，那个sins理应是sinx
1、令f(x)=arccos((1-x^2)/(1+x^2)) - 2arctanx,求导f'(x)=0,所以f(x)是一个常函数.f(1)=arccos0-2arctan1=π/2-π/2=0.所以f(x)=0,所以arccos((1-x^2)/(1+x^2)) = 2arctanx.
2、sinx-siny=cosξ(x-y),ξ介于x与y之间.所以|sinx-siny|=|cosξ|×|x-y|≤|x-y|.
3、对函数f(t)=t^n在[y,x]上使用拉格朗日中值定理,则(x^n-y^n)/(x-y)=n×ξ^(n-1),y＜ξ＜x.所以n×y^(n-1)＜n×ξ^(n-1)＜n×x^(n-1).所以ny^(n-1)≤(x^n-y^n)/(x-y)≤nx^(n-1).
2、sinx-siny=cosξ(x-y),ξ介于x与y之间.所以|sinx-siny|=|cosξ|×|x-y|≤|x-y|.
3、对函数f(t)=t^n在[y,x]上使用拉格朗日中值定理,则(x^n-y^n)/(x-y)=n×ξ^(n-1),y＜ξ＜x.所以n×y^(n-1)＜n×ξ^(n-1)＜n×x^(n-1).所以ny^(n-1)≤(x^n-y^n)/(x-y)≤nx^(n-1).