证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/10/06 13:19:22
证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2
其中a,b,c均为正数,且a+b+c=3
其中a,b,c均为正数,且a+b+c=3
要证a^2+b^2+c^2+(3/2)abc≥9/2
即证2(a^2+b^2+c^2)+3abc≥9
即证2[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]+3abc≥9(注意到(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca))
即证9-4(ab+bc+ca)+3abc≥0(注意到a+b+c=3)
即证9-4ab-4c(a+b)+3abc≥0
即证9-4ab-4c(3-c)+3abc≥0(注意到a+b=3-c)
即证(4-3c)ab≤4c^2-12c+9
即证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
若4-3c0
显然上式恒成立
若4-3c≥0
因ab≤(a+b)^2/4(基本不等式)
即ab≤(3-c)^2/4(注意到a+b=3-c)
则(4-3c)ab≤(4-3c)(3-c)^2/4
于是要证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
即证(4-3c)(3-c)^2/4≤(2c-3)^2
即证c^3-2c^2+c≥0
即证c(c-1)^2≥0(注意到c>0)
即证(c-1)^2≥0
显然(c-1)^2≥0恒成立
综上知a^2+b^2+c^2+(3/2)abc≥9/2
即证2(a^2+b^2+c^2)+3abc≥9
即证2[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]+3abc≥9(注意到(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca))
即证9-4(ab+bc+ca)+3abc≥0(注意到a+b+c=3)
即证9-4ab-4c(a+b)+3abc≥0
即证9-4ab-4c(3-c)+3abc≥0(注意到a+b=3-c)
即证(4-3c)ab≤4c^2-12c+9
即证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
若4-3c0
显然上式恒成立
若4-3c≥0
因ab≤(a+b)^2/4(基本不等式)
即ab≤(3-c)^2/4(注意到a+b=3-c)
则(4-3c)ab≤(4-3c)(3-c)^2/4
于是要证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
即证(4-3c)(3-c)^2/4≤(2c-3)^2
即证c^3-2c^2+c≥0
即证c(c-1)^2≥0(注意到c>0)
即证(c-1)^2≥0
显然(c-1)^2≥0恒成立
综上知a^2+b^2+c^2+(3/2)abc≥9/2
设a、b、c为△ABC三边,证明:a(3a+2b+c)²-2b(b+c) +a-2b-2c≥0.
证明不等式a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥abc(a+b+c)
设abc都是正实数,证明a/b+c+b/a+c+c/a+b大于等于3/2
设abc都是正实数,证明a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)大于等于3/2
已知a>0,b>0,c>0,证明a2+b2+c2≥3(abc)2/3
如何证明a^4+b^4+c^4≧a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥(a+b+c)abc?
已知三角形ABC,A(2,3),B(-2,4),C(-1,-9),证明三角形ABC为直角三角形.
设实数a,b,c满足a≤b≤c,且a^2+b^2+c ^2=9.证明abc+1>3a
证明 在三角形ABC中,sin(a-b)/sinc=a 2-b 2/c 2
在三角形ABC中 证明S三角形ABC=[a^2sinBsinC]/2sin(B+C)
均值定理证明题已知a>0,b>0,c>0求证:a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)≥4abc
设a、b、c∈R+,且a+b+c=3,证明:abc(a^2+b^2+c^2)≤3