高等代数关于欧氏空间恒等变换求解

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/06 02:54:24

高等代数关于欧氏空间恒等变换求解

先证明必要性.
因为A有n个互异的特征值,所以A可以对角化.
具体的说可以在V中找到一组基,使得A在这组基下的矩阵为对角阵.
下面我们完全在这组基下讨论问题.
令A=diag{a1,a2,...,an},其中ai两两不同.对于矩阵B=(bij),计算AB-BA=((ai-aj)bij)
由于A,B可交换,即上式为0.而ai两两不同,所以当i与j不等时,有bij=0.
由此知道B也为对角阵.
显然所有对角阵构成一个n维线性空间,容易证明E,A,...,A^(n-1)构成这个线性空间的一组基（因为ai两两不同,所以范德蒙行列式非0）.所以B可以写成如上形式.
再证明充分性.
反之,若B可以写成如上形式,显然B与A可交换.
所以这是一个充要条件.
不懂可以再问~

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