神马作文网已知f(x)=3x-x^2|x| (x∈R)(1)求f(x)的最大值
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 19:57:28
已知f(x)=3x-x^2|x| (x∈R)(1)求f(x)的最大值
(2)是否存在实数a,b使f(x)在区间[a,b]上的取值范围为[2/b,2/a].
(2)是否存在实数a,b使f(x)在区间[a,b]上的取值范围为[2/b,2/a].
（1）x≥0时,f(x)=3x-x^3,f'(x)=3-3x^2=3(1-x^2)
当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数单调递增；
当x≥1时,f'(x)≤0,函数单调递减；
∴此时,函数在x=1处取得极大值f(1)=3-1=2
x≤0时,f(x)=3x+x^3,f'(x)=3+3x^2=3(1+x^2)>3
∴此时函数单调递增,最大值为f(0)=0
综合,函数f(x)在x∈R上的最大值为2
（2）若2/a=2=最大值,则a=1,而b>a=1,∴[a,b]落在函数递减区间上
则f(a)=f(1)=2,f(b)=3b-b^3=2/b => b=√2 => [a,b]=[1,√2]
若2/a≠2,则[a,b]必然落在单调区间上
当0≤a1,则[a,b]落在单调递减区间上
此时有 f(a)=3a-a^3=2/a,f(b)=3b-b^3=2/b,可解得a=b 不构成区间
综合,存在实数a=1,b=√2使f(x)在区间[1,√2]上的取值范围为[√2,2]
当0≤x≤1时,f'(x)≥0,函数单调递增；
当x≥1时,f'(x)≤0,函数单调递减；
∴此时,函数在x=1处取得极大值f(1)=3-1=2
x≤0时,f(x)=3x+x^3,f'(x)=3+3x^2=3(1+x^2)>3
∴此时函数单调递增,最大值为f(0)=0
综合,函数f(x)在x∈R上的最大值为2
（2）若2/a=2=最大值,则a=1,而b>a=1,∴[a,b]落在函数递减区间上
则f(a)=f(1)=2,f(b)=3b-b^3=2/b => b=√2 => [a,b]=[1,√2]
若2/a≠2,则[a,b]必然落在单调区间上
当0≤a1,则[a,b]落在单调递减区间上
此时有 f(a)=3a-a^3=2/a,f(b)=3b-b^3=2/b,可解得a=b 不构成区间
综合,存在实数a=1,b=√2使f(x)在区间[1,√2]上的取值范围为[√2,2]
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