神马作文网一道几何题,要求运用余弦定理,可是我不知道在哪里用!
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/17 03:13:08
一道几何题,要求运用余弦定理,可是我不知道在哪里用!
若点E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点,且EG=3,FH=4,则AC²+BD²等于（ ）
A.25 B.50 C.100 D.200
提示：利用余弦定理,注意平行线的同旁内角互补.
若点E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点,且EG=3,FH=4,则AC²+BD²等于（ ）
A.25 B.50 C.100 D.200
提示：利用余弦定理,注意平行线的同旁内角互补.
选B
EH = FG = BD/2,EF = HG = AC/2
∵EH∥FG
∴∠FEH + ∠EFG = 180°
∴cos∠FEH + cos∠EFG = 0
根据余弦定理：
在△EFH中,EH² + EF² - 2EH·EF·cos∠FEH = FH² = 16 ……①
在△EFG中,FG² + EF² - 2EF·FG·cos∠EFG = EG² = 9
∵EH = FG
∴EH² + EF² - 2EF·EH·cos∠EFG = EG² = 9……②
① ＋ ②,得
2(EH² + EF²) =25
∴AC²+BD² = (2EF)² + (2EH)² = 4(EH² + EF²)=50
EH = FG = BD/2,EF = HG = AC/2
∵EH∥FG
∴∠FEH + ∠EFG = 180°
∴cos∠FEH + cos∠EFG = 0
根据余弦定理：
在△EFH中,EH² + EF² - 2EH·EF·cos∠FEH = FH² = 16 ……①
在△EFG中,FG² + EF² - 2EF·FG·cos∠EFG = EG² = 9
∵EH = FG
∴EH² + EF² - 2EF·EH·cos∠EFG = EG² = 9……②
① ＋ ②,得
2(EH² + EF²) =25
∴AC²+BD² = (2EF)² + (2EH)² = 4(EH² + EF²)=50