神马作文网21题导数如图
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/11/11 19:08:56
21题导数如图
f(x)=2lnx+1/x,x＞0.
(1)
f'(x)=1/x×(2-1/x).
当0＜x＜1/2时,f'(x)＜0；当x＞1/2时,f'(x)＞0.
故f(x)在(0,1/2)递减,(1/2,+∞)递增.
x=1/2为f(x)的极小值点,极小值为f(1/2)=-2ln2+2.
(2)
由(1)知f(x)≥f(1/2),即2lnx+1/x≥-2(ln2-1).
取x=1,2,3,4,5,6.n,则有：
2ln1+1/1≥-2(ln2-1).
2ln2+1/2≥-2(ln2-1).
2ln3+1/3≥-2(ln2-1).
.
2lnn+1/n≥-2(ln2-1).
上式累加,即有：
1+1/2+1/3+...+1/n+2(ln1+ln2+...+lnn)≥-2n(ln2-1)=ln(e/2)²ⁿ
1+1/2+1/3+...+1/n+ln(1×2×3×...×n)²≥ln(e/2)²ⁿ
又等号不可能总是成立,故1+1/2+1/3+...+1/n+ln(1×2×3×...×n)²＞ln(e/2)²ⁿ,证毕.
(3)
由(1)知f(x)在[1,+∞)递增,故f(x)≥f(1)=1.
从而t²-2mt+2≤1即t²-2mt+1≤0对t∈[1,2]恒成立.
记h(t)=t²-2mt+1,t∈[1,2].
故h(t)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)}.
h(1)≤0m≥1.
h(2)≤0m≥3/2.
综上,m≥3/2.
(1)
f'(x)=1/x×(2-1/x).
当0＜x＜1/2时,f'(x)＜0；当x＞1/2时,f'(x)＞0.
故f(x)在(0,1/2)递减,(1/2,+∞)递增.
x=1/2为f(x)的极小值点,极小值为f(1/2)=-2ln2+2.
(2)
由(1)知f(x)≥f(1/2),即2lnx+1/x≥-2(ln2-1).
取x=1,2,3,4,5,6.n,则有：
2ln1+1/1≥-2(ln2-1).
2ln2+1/2≥-2(ln2-1).
2ln3+1/3≥-2(ln2-1).
.
2lnn+1/n≥-2(ln2-1).
上式累加,即有：
1+1/2+1/3+...+1/n+2(ln1+ln2+...+lnn)≥-2n(ln2-1)=ln(e/2)²ⁿ
1+1/2+1/3+...+1/n+ln(1×2×3×...×n)²≥ln(e/2)²ⁿ
又等号不可能总是成立,故1+1/2+1/3+...+1/n+ln(1×2×3×...×n)²＞ln(e/2)²ⁿ,证毕.
(3)
由(1)知f(x)在[1,+∞)递增,故f(x)≥f(1)=1.
从而t²-2mt+2≤1即t²-2mt+1≤0对t∈[1,2]恒成立.
记h(t)=t²-2mt+1,t∈[1,2].
故h(t)在[1,2]上的最大值为max{h(1),h(2)}.
h(1)≤0m≥1.
h(2)≤0m≥3/2.
综上,m≥3/2.