神马作文网关于Stolz定理的问题
来源：学生作业帮 编辑：神马作文网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/10/05 15:34:47
关于Stolz定理的问题
为什么要求做分母的数列严格单增啊,Stolz定理是离散状态的洛必达法则,为什么洛必达法则就没有这个要求啊.
为什么要求做分母的数列严格单增啊,Stolz定理是离散状态的洛必达法则,为什么洛必达法则就没有这个要求啊.
首先,Stolz定理分母不单调的话确实是有反例的.
取a[n] = n,b[n] = n+(-1)^n·√n.
则易见n → ∞时,b[n] → +∞,同时(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n]) → 0.
然而a[n]/b[n] → 1 ≠ 0.
其次,L'Hospital法则其实隐含了单调性的条件.
因为其要求g'(x)在极限点的某邻域内不得0,
但导函数具有介值性(Darboux定理),
因此g'(x)在极限点的某邻域内恒正或恒负,即得g(x)单调.
所以这两个定理在这方面仍然是一致的.
再问： 有反例我知道了，但是我不知道造成这种情况的根本原因是什么，还有洛必达法则中无穷大除以无穷大型对单调性有要求吗
再答： 前面说了, 在某邻域内g'(x) ≠ 0蕴含单调性.
∞/∞型也需要这个条件, 所以也需要单调性.
不过, 有的时候不会特别强调g'(x) ≠ 0这个条件.
这是因为f'(x)/g'(x)极限存在的前提包括g'(x) ≠ 0.
(极限有定义, 要求f'(x)/g'(x)在某去心邻域内处处有定义).
所以凡是能使用L'Hospital法则的情形, 都隐含这个前提.
进而隐含g(x)在某邻域内单调的条件.
与此不同, 在Stolz定理中,
(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n])极限的存在性,
并不能推出b[n]的单调性.
因为b[n]由减转增并不一定要经历b[n+1]-b[n] = 0的状态,
(但g'(x)由负变正必须经过g'(x) = 0的状态)
这一点上离散与连续情形出现了差别.
作为结果, Stolz定理需要以b[n]严格单调为明确前提,
但L'Hospital法则可以将其隐含于极限存在的条件中.
(不过为了明确, 一般还是会写出g'(x) ≠ 0的).
不知这样说是否解答了你的疑问?
取a[n] = n,b[n] = n+(-1)^n·√n.
则易见n → ∞时,b[n] → +∞,同时(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n]) → 0.
然而a[n]/b[n] → 1 ≠ 0.
其次,L'Hospital法则其实隐含了单调性的条件.
因为其要求g'(x)在极限点的某邻域内不得0,
但导函数具有介值性(Darboux定理),
因此g'(x)在极限点的某邻域内恒正或恒负,即得g(x)单调.
所以这两个定理在这方面仍然是一致的.
再问： 有反例我知道了，但是我不知道造成这种情况的根本原因是什么，还有洛必达法则中无穷大除以无穷大型对单调性有要求吗
再答： 前面说了, 在某邻域内g'(x) ≠ 0蕴含单调性.
∞/∞型也需要这个条件, 所以也需要单调性.
不过, 有的时候不会特别强调g'(x) ≠ 0这个条件.
这是因为f'(x)/g'(x)极限存在的前提包括g'(x) ≠ 0.
(极限有定义, 要求f'(x)/g'(x)在某去心邻域内处处有定义).
所以凡是能使用L'Hospital法则的情形, 都隐含这个前提.
进而隐含g(x)在某邻域内单调的条件.
与此不同, 在Stolz定理中,
(a[n+1]-a[n])/(b[n+1]-b[n])极限的存在性,
并不能推出b[n]的单调性.
因为b[n]由减转增并不一定要经历b[n+1]-b[n] = 0的状态,
(但g'(x)由负变正必须经过g'(x) = 0的状态)
这一点上离散与连续情形出现了差别.
作为结果, Stolz定理需要以b[n]严格单调为明确前提,
但L'Hospital法则可以将其隐含于极限存在的条件中.
(不过为了明确, 一般还是会写出g'(x) ≠ 0的).
不知这样说是否解答了你的疑问?