偏导数存在函数不连续的图形

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/13 19:28:19

偏导数存在函数不连续的图形

把二元函数想像成平面上的函数,则连续需要在各个方向（横的,竖的,斜的）直线上都连续；而对x的偏导数存在只说明函数限制到每条横的直线（y=a）上后作为x的一元函数可导,对y的偏导数存在只说明函数限制到每条竖的直线（x=a）上后作为y的一元函数可导.
最简单的例子：定义二元函数在左半平面取0,右半平面取1,则它在每条竖的直线上都可导（因为是常数）,而在横的直线上不连续（左0右1）,所以它对y的偏导数存在但不连续；类似地,定义二元函数在下半平面取0,上半平面取1,则它对x的偏导数存在但不连续.
即使二元函数对x和y的偏导数都存在,只说明它在所有横的和竖的直线上可导,理论上仍有可能在某条斜的直线上不连续.这种函数没有上面那么容易想,但确实是存在的,一般微积分书上会给出标准的例子：f(x,y)在坐标原点取0,其它地方=xy/(x^2+y^2).
推广一下,一般的多元函数可以想像成高维空间上的函数,连续需要在各个方向的平面上都连续,而偏导数存在只说明在所有和坐标平面平行的平面上可导－－后者推不出前者.一元函数不会有这种问题,因为直线上只有一种方向.
其中的例子：f(x,y)在坐标原点取0,其它地方=xy/(x^2+y^2).这个函数在原点附近,沿横坐标方向和纵坐标方向都连续可导,所以偏导数存在；但沿斜的直线y=x方向就不连续：原点处取值为0,而其它点处取值=x^2/(x^2+x^2)=1/2

能不能帮忙总结下可导、极限存在、函数连续、偏导数连续、存在等的概念、关系和存在条件呢?我不太理解二元函数偏导数存在且偏导数连续,那么这个函数是不是就是连续的?为什么? 高数.某函数的导函数在一点的极限存在,那么在这个点他的左导数和右导数存在,这个函数在这个点连续吗,如果不连续,那么连续的偏导数存在和偏导数连续的区别多元函数：偏导数存在、可微分、连续! 多元函数连续能推出偏导数存在吗? 函数连续,偏导数存在,能推出可微吗? 函数连续,函数可微,函数可导,偏导数存在,偏导数连续之间的关系,最好有例子证明, 二元函数在某点的偏导数连续与一元函数在某点偏导数连续性质一样不? 多元函数连续是不是x、y方向的偏导数一定存在? 偏导数存在且连续,可微,函数连续,偏导数存在,这四个有什么关系? 二元函数可微的问题二元函数可微是要求两个偏导数存在、并且两个偏导数连续呢还是要求两个偏导数存在、并且二元函数连续呢这