已知函数f(x)=lnx-px+1(p∈R).
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/11 12:34:06
已知函数f(x)=lnx-px+1(p∈R).
(1)p=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)若对任意的x>0,恒有f(x)≤p2x2,求实数p的取值范围.
(1)p=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的极值;
(3)若对任意的x>0,恒有f(x)≤p2x2,求实数p的取值范围.
(1)p=1,f'(1)=1-1=0,f(1)=0-1+1=0,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y=0(2分)
(2)f′(x)=
1
x−p(x>0)
当p≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增,函数f(x)无极值; (4分)
当p>0时,(0,
1
p)上f'(x)>0,f(x)单调递增;(
1
p,+∞)上f'(x)<0,f(x)单调递减
∴f(x)的极大值为f(
1
p)=−lnp,f(x)无极小值 (6分)
(3)记g(x)=f(x)-p2x2=lnx-px+1-p2x2(x>0)
∴g′(x)=
1
x−p−2p2x=
(px+1)(2px−1)
−x(7分)
当p=0时,g(x)=lnx+1,g(e)>0不符合条件 (8分)
当p>0时,px+1>0,(0,
1
2p)上g'(x)>0,g(x)单调递增;(
1
2p,+∞)上g'(x)<0,g(x)单调递减
∴g(x)的最大值为g(
1
2p)=−ln(2p)+
1
4≤0,∴p≥
4e
2(10分)
当p<0时,2px-1<0,(0,
−1
p)上g'(x)>0,g(x)单调递增;(
−1
p,+∞)上g'(x)<0,g(x)单调递减
∴g(x)的最大值为g(
−1
p)=−ln(−p)+1≤0,∴p≤-e
故p的取值范围是(−∞,−e]∪[
4e
2,+∞)(12分)
(2)f′(x)=
1
x−p(x>0)
当p≤0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上递增,函数f(x)无极值; (4分)
当p>0时,(0,
1
p)上f'(x)>0,f(x)单调递增;(
1
p,+∞)上f'(x)<0,f(x)单调递减
∴f(x)的极大值为f(
1
p)=−lnp,f(x)无极小值 (6分)
(3)记g(x)=f(x)-p2x2=lnx-px+1-p2x2(x>0)
∴g′(x)=
1
x−p−2p2x=
(px+1)(2px−1)
−x(7分)
当p=0时,g(x)=lnx+1,g(e)>0不符合条件 (8分)
当p>0时,px+1>0,(0,
1
2p)上g'(x)>0,g(x)单调递增;(
1
2p,+∞)上g'(x)<0,g(x)单调递减
∴g(x)的最大值为g(
1
2p)=−ln(2p)+
1
4≤0,∴p≥
4e
2(10分)
当p<0时,2px-1<0,(0,
−1
p)上g'(x)>0,g(x)单调递增;(
−1
p,+∞)上g'(x)<0,g(x)单调递减
∴g(x)的最大值为g(
−1
p)=−ln(−p)+1≤0,∴p≤-e
故p的取值范围是(−∞,−e]∪[
4e
2,+∞)(12分)