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圆O的直径为AB,半圆上有点C,D,且∠DAB=2∠CBA,BC和AD交于点M,直线CD交过B的切线于点N,求证:∠MO

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/20 22:26:44

圆O的直径为AB,半圆上有点C,D,且∠DAB=2∠CBA,BC和AD交于点M,直线CD交过B的切线于点N,求证:∠MOA=∠NOB

圆O的直径为AB,半圆上有点C,D,且∠DAB=2∠CBA,BC和AD交于点M,直线CD交过B的切线于点N,求证:∠MO
延长AB至P,使得∠OPN=∠OAM,连接PN
设∠ABC=a,则∠MCD=∠MAB=2a
∴∠CNB=180-2a-∠NBC=180-2a-(90-a)=90-a=∠NBC
∴CB=CN,设圆半径为r,则AC=2rsina
而∠CMA=a+2a=3a,∴AM=AC/sin3a=2rsina/sin3a
又CN=CB=2rcosa,∠BCN=2a,∴BN=2BCsina=2rsin2a
而∠OPN=∠OAM=2a,∴NP=NB/sin2a=2r,BP=2rcos2a
∴OP=OB+BP=r+2rcos2a,∴PN/PO=2/(2cos2a+1)
而sin3a=sinacos2a+sin2acosa=sina(cos2a+2cos²a)=sina(2cos2a+1)
∴AM/AO=2sina/sin3a=2/(2cos2a+1)=PN/PO
再结合∠OPN=∠OAM,知△OPN∽△OAM
∴∠MOA=∠NOB