已知2X2+3y2小于等于6,求证X+2Y小于等于根号11?

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 08:30:22

已知变形为：x^2/3＋y^2/2≤1
在平面直角坐标系中,可以看成是由椭圆x^2/3＋y^2/2＝1及椭圆内的所有点组成的集合
所求问题相当于过椭圆上一点或椭圆内一点作直线x＋2y＝0的平行线,求直线在y轴上截距的最大值,显然这样的点在椭圆上,所求直线与椭圆相切
设所求直线方程为x＋2y＝z,得x＝z－2y代入椭圆方程,整理得：
11y^2－8zy＋2z^2－6＝0
令△＝0,得：64z^2－88z^2＋264＝0
∴z＝±根号11
即过椭圆上或椭圆内一点并且与直线x＋2y＝0平行的直线的截距满足：
－根号11≤z≤根号11
即有：x＋2y≤根号11
或柯西不等式证明：
(|x|＋|2y|)^2
＝[根号(1/2)·根号(2x^2)＋根号(4/3)·根号(3y^2)]^2
≤(1/2＋4/3)(2x^2＋3y^2)
≤6(1/2＋4/3)
＝11
∴|x|＋|2y|≤根号11
∴x＋2y≤|x|＋|2y|≤根号11