二次函数图像经过点(1,2)(2,3/2)(0,3/2)

来源：学生作业帮编辑：神马作文网作业帮分类：数学作业时间：2024/11/19 18:52:49

二次函数图像经过点(1,2)(2,3/2)(0,3/2)
（1）设该抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C问抛物线上是否存在一点P,使以A、B、C、P为顶点的四边形为梯形?若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由
(2)设该抛物线的对称轴交x轴于点D,问对称轴上是否存在点N,使△NDB与△OCB相似?若存在,请直接写出点N的坐标

(1)设抛物线的解析式是y=ax² bx c
∵函数图像经过点(1,2),(2,3/2),(0,3/2)
∴{a b c=2
4a 2b c=3/2
c=3/2
解得:{a=-1/2
b=1
c=3/2
∴抛物线的解析式是y=-(1/2)x² x (3/2)
(2)抛物线上存在一点p,使以A,B,C,P,为顶点的四边形为梯形.
①当梯形以AB、CP为底时,
∵点C的坐标是(0,3/2),抛物线的对称轴是直线X=1,
∴由抛物线的对称性,可知,点P的坐标是(2,3/2)
②当梯形以AC、BP为底时,
BP∥AC,
设直线AC的解析式是y=kx b,将A(-1,0),C(0,3/2)代入,得
{-k b=0
b=3/2
解得:{k=3/2
b=3/2
∴直线AC的解析式是y=(3/2)x (3/2)
∵BP∥AC,
∴设直线BP的解析式是y=(3/2)x z
将B(3,0)代入,得(3/2) ×3 z=0
∴z=-9/2
∴直线BP的解析式是y=(3/2)x-(9/2)
直线BP与抛物线的交点即为点P
由{ y=(3/2)x-(9/2)
y=-(1/2)x² x (3/2)
解得:{x1=3 {x2=-4
Y1=0 y2=-21/2
∴点P的坐标是(-4,-21/2)
(1) 对称轴上存在点N,使△NDB与△OCB相似.
N1(1,1) 、N2(1,-1)、N3(1,8/3)、N4(1,-8/3)
【过程如下:抛物线的对称轴为直线x=1,与x轴交于点D(1,0)
①当△NDB∽△COB时,直线BC与直线x=1的交点就是点N,
此时点N的坐标是N1(1,1)
由对称性,可得点N2(1,-1),
②当△BDN∽△COB时,由BD/CO=DN/OB,
得DN=(OB·BD)/CO=8/3
∴N3(1,8/3),
由对称性,可得点N4(1,
-8/3)】

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