三角形内角sinA平方,sinB平方,sinC平方成等差,证cosA/a,cosB/b,cosC/c成等比!
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/30 10:21:20
三角形内角sinA平方,sinB平方,sinC平方成等差,证cosA/a,cosB/b,cosC/c成等比!
注:以下证明一般情况下此题要证的命题不成立.
证明:假设命题“cosA/a、cosB/b、cosC/c成等比”可以从已知条件“三角形内角sinA^2、sinB^2、sinC^2成等差”导出.则
(cosB/b)^2=(cosA/a)(cosC/c)
cosB^2/(b^2/ac)=cosAcosC (1)
可见A、B、C皆不能为直角,否则必有另一个角为直角,无法构成△.
根据已知条件,2sinB^2=sinA^2+sinC^2
由正弦定理,2b^2=a^2+c^2
以及余弦定理,b^2=a^2+c^2-2ac·cosB
∴b^2=2ac·cosB (2)
将(2)代入(1),cosB=2cosAcosC
对cosA、cosC用余弦定理并代入上式,得:
cosB=(b^2-a^2+c^2)(b^2+a^2-c^2)/(2acb^2)
再次用(2)式,b^4=(b^2-a^2+c^2)(b^2+a^2-c^2)=b^4-(a^2-c^2)^2 (平方差公式)
(a^2-c^2)^2=0
a=c 或A=C
但显然该结果无法仅仅从已知条件“三角形内角sinA^2、sinB^2、sinC^2成等差”导出(即已知条件不充分),所以“cosA/a、cosB/b、cosC/c成等比”也无法从已知条件导出,即假设不成立.
证明:假设命题“cosA/a、cosB/b、cosC/c成等比”可以从已知条件“三角形内角sinA^2、sinB^2、sinC^2成等差”导出.则
(cosB/b)^2=(cosA/a)(cosC/c)
cosB^2/(b^2/ac)=cosAcosC (1)
可见A、B、C皆不能为直角,否则必有另一个角为直角,无法构成△.
根据已知条件,2sinB^2=sinA^2+sinC^2
由正弦定理,2b^2=a^2+c^2
以及余弦定理,b^2=a^2+c^2-2ac·cosB
∴b^2=2ac·cosB (2)
将(2)代入(1),cosB=2cosAcosC
对cosA、cosC用余弦定理并代入上式,得:
cosB=(b^2-a^2+c^2)(b^2+a^2-c^2)/(2acb^2)
再次用(2)式,b^4=(b^2-a^2+c^2)(b^2+a^2-c^2)=b^4-(a^2-c^2)^2 (平方差公式)
(a^2-c^2)^2=0
a=c 或A=C
但显然该结果无法仅仅从已知条件“三角形内角sinA^2、sinB^2、sinC^2成等差”导出(即已知条件不充分),所以“cosA/a、cosB/b、cosC/c成等比”也无法从已知条件导出,即假设不成立.
A,B,C是三角形内角,证明(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)
在三角形ABC中,cosB是sinA,sinC的等比中项,sinB是cosA,cosC的等差中项,则角B=?
求函数y=(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)的取值范围,已知A、B、C为三角形的内角.
已知A、B、C是锐角三角形ABC的内角,则关于不等式sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC的叙述正确
在三角形abc中,cosA-2cosC/cosB=2c-a/b,求sinC/sinA
sinA+sinB+sinC>=cosA+cosB+cosC
设A,B,C属于(0,90度),SINA+SINC=SINB,COSB+COSC=COSA,则B-A等于
在三角形abc中,内角A,B,C的对边长分别是a,b,c,且abc成等差数列.若sinA,sinB,sinC,成等比
应用题应用题在三角形ABC中,三内角A,B,C满足sinA(cosB+cosC)=sinB+sinC,试着判断ABC的形
在三角形ABC中,三个内角A,B,C满足sinA*(cosB+cosC)=sinB+sinC,试判断ABC的形状
在△ABC中,三个内角A、B、C满足﹕sinB+sinC﹦sinA(cosB+cosC)求角A
SINA+SINB+SINC=COSA+COSB+COSC=0,求TAN(A+B+C)+TANA*TANB*TANC