两道几何竞赛题1、以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG.求证:AE、BF、CG相交于一点.2
来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/09/22 03:40:35
两道几何竞赛题
1、以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG.求证:AE、BF、CG相交于一点.
2、D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上,BD/DC=AF/FB=CE/EA=a,AD、BE、CF交成△LMN.求S△LMN.
1、以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG.求证:AE、BF、CG相交于一点.
2、D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上,BD/DC=AF/FB=CE/EA=a,AD、BE、CF交成△LMN.求S△LMN.
第一题用塞瓦逆定理,学过奥数的人应该都做过
首先可以设∠GAB=∠GBA=∠EBC=∠ECB=∠FAC=∠FCA=θ
AN/NB=S⊿AGC/S⊿BGC=AG*AC*sin∠GAC/BG*BC*sin∠GBC=ACsin(A+θ)/BCsin(B+θ)=sinBsin(A+θ)/sinAsin(B+θ)
同理,BL/LC=sinCsin(B+θ)/sinBsin(C+θ),CM/MA=sinAsin(C+θ)/sinCsin(A+θ)
三式相乘得AN/NB*BL/LC*CM/MA=1
由塞瓦定理逆定理知AE,BF,CG共点,得证.
第二题:
作BC的平行线交CF于P,作BC的平行线LQ交CA于Q
利用△AFP∽△BFC,求出 AP/BC = a
利用△ALP∽△DLC,△ALQ∽△ADC,求出 LQ/BC = a /(a^2 + a + 1)
∴S△CLA / S△ABC = LQ/BC = a /(a^2 + a + 1)
同理,S△AMB / S△ABC = a /(a^2 + a + 1)
∴S△LMN / S△ABC = 1 - 3a /(a^2 + a + 1) = (a-1)^2 /(a^2 + a + 1)
上传不了两幅分开的图片,第二题你自己画一遍吧...
能帮你的就这么多了,就看你自己怎么去消化它们了...努力哦
首先可以设∠GAB=∠GBA=∠EBC=∠ECB=∠FAC=∠FCA=θ
AN/NB=S⊿AGC/S⊿BGC=AG*AC*sin∠GAC/BG*BC*sin∠GBC=ACsin(A+θ)/BCsin(B+θ)=sinBsin(A+θ)/sinAsin(B+θ)
同理,BL/LC=sinCsin(B+θ)/sinBsin(C+θ),CM/MA=sinAsin(C+θ)/sinCsin(A+θ)
三式相乘得AN/NB*BL/LC*CM/MA=1
由塞瓦定理逆定理知AE,BF,CG共点,得证.
第二题:
作BC的平行线交CF于P,作BC的平行线LQ交CA于Q
利用△AFP∽△BFC,求出 AP/BC = a
利用△ALP∽△DLC,△ALQ∽△ADC,求出 LQ/BC = a /(a^2 + a + 1)
∴S△CLA / S△ABC = LQ/BC = a /(a^2 + a + 1)
同理,S△AMB / S△ABC = a /(a^2 + a + 1)
∴S△LMN / S△ABC = 1 - 3a /(a^2 + a + 1) = (a-1)^2 /(a^2 + a + 1)
上传不了两幅分开的图片,第二题你自己画一遍吧...
能帮你的就这么多了,就看你自己怎么去消化它们了...努力哦
如图,已知三角形ABC,以AC和BC为边向外作正三角形ACD和正三角形BCE,BD与AE相交于点M. 求证:A
△ABC的外角平分线BF,CG相交于点P.求证;AP平分∠BAC.
△ABC的外角平分线BF,CG相交于点P.求证:AP平分∠BAC.
如图:已知在等腰Rt △ABC中,∠CAB=90°,以AB为边向外作等边△ABD,AE⊥BD,CD、AE交于点M .求证
等腰Rt△ABC,角CAB=90,以AB为边向外作等边△ABD,AE垂直BD,CD、AE交于点M,求DM=1/2BC
分别以三角形ABC的边AC,BC为边作等边三角形ACD和三角形BCE,连接AE,BD相交于点O,求证:BD=AE
八上数学轴对称题目1.如图,分别以△ABC的边AC、BC为一腰向外作等腰直角三角形ACD和BCE,∠ACD=∠BCE=9
如图,△ABC的外角平分线BF,CG相交于点P,求证AP平分∠BAC
△ABC的外角平分线BF,CG相交于点P 求证AP平分∠BAC = = 求人了
如图,△ABC的外角平分线BF,CG相交于点P,求证:AP平分∠BAC
已知:△ABC的外角平分线BF,CG相交于点P.求证:AP平分∠BAC
如图 分别以锐角△ABC的边AB,BC,CA为斜边向外做等腰直角三角形DAB,EBC,FAC.求证AE垂直且等于DF