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设α、β、γ∈(0,π2)且sinα+sinγ=sinβ,cosα+cosγ=cosβ,则α-β= ___ .

来源:学生作业帮 编辑:神马作文网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/17 04:15:37
设α、β、γ∈(0,
π
2
设α、β、γ∈(0,π2)且sinα+sinγ=sinβ,cosα+cosγ=cosβ,则α-β= ___ .
∵sinα+sinγ=sinβ,cosα+cosγ=cosβ,γ∈(0,
π
2),
∴sinγ=sinβ-sinα,
cosγ=cosβ-cosα>0,
∴cosβ>cosα,故0<β<α<
π
2,
∴α-β>0;①
∵sin2γ+cos2γ=(sinβ-sinα)2+(cosβ-cosα)2=1,
即2-2sinβsinα-2cosβcosα=1,
∴cos(α-β)=
1
2;
∵α、β∈(0,
π
2),
∴-
π
2<α-β<
π
2②
由①②得0<α-β<
π
2,
∴α-β=
π
3.
故答案为:
π
3.